Trojúhelník 10 12 18

Tupouhlý různostranný trojúhelník.

Délky stran trojúhelníku:
a = 10
b = 12
c = 18

Obsah trojúhelníku: S = 56,56985424949
Obvod trojúhelníku: o = 40
Semiperimeter (poloobvod): s = 20

Úhel ∠ A = α = 31,58663380965° = 31°35'11″ = 0,55112855984 rad
Úhel ∠ B = β = 38,9422441269° = 38°56'33″ = 0,68796738189 rad
Úhel ∠ C = γ = 109,47112206345° = 109°28'16″ = 1,91106332362 rad

Výška trojúhelníku na stranu a: v_a = 11,3143708499
Výška trojúhelníku na stranu b: v_b = 9,42880904158
Výška trojúhelníku na stranu c: v_c = 6,28553936105

Těžnice: t_a = 14,45768322948
Těžnice: t_b = 13,26664991614
Těžnice: t_c = 6,40331242374

Poloměr vepsané kružnice: r = 2,82884271247
Poloměr opsané kružnice: R = 9,5465941546

Souřadnice vrcholů: A[18; 0] B[0; 0] C[7,77877777778; 6,28553936105]
Těžiště: T[8,59325925926; 2,09551312035]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[9; -3,18219805153]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[8; 2,82884271247]

Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 148,41436619035° = 148°24'49″ = 0,55112855984 rad
∠ B' = β' = 141,0587558731° = 141°3'27″ = 0,68796738189 rad
∠ C' = γ' = 70,52987793655° = 70°31'44″ = 1,91106332362 rad

Vypočítat další trojúhelník

Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?

Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen.

a = 10 b = 12 c = 18

1. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran

o = a + b + c = 10 + 12 + 18 = 40

2. Poloviční obvod trojúhelníku

Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{4 0}{2} = 20

3. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce

Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 20 (20 - 10) (20 - 12) (20 - 18) S = 3200 = 56, 57

4. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.

Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 5 6 , 5 7}{1 0} = 11, 31 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 5 6 , 5 7}{1 2} = 9, 43 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 5 6 , 5 7}{1 8} = 6, 29

5. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty

Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{1 2 ^{2} + 1 8 ^{2} - 1 0 ^{2}}{2 \cdot 1 2 \cdot 1 8}) = 31 ° 3 5^{'} 11 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{1 0 ^{2} + 1 8 ^{2} - 1 2 ^{2}}{2 \cdot 1 0 \cdot 1 8}) = 38 ° 5 6^{'} 33 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 31 ° 3 5^{'} 11 " - 38 ° 5 6^{'} 33 " = 109 ° 2 8^{'} 16 "

6. Poloměr vepsané kružnice

Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{5 6 , 5 7}{2 0} = 2, 83

7. Poloměr opsané kružnice

Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{1 0 \cdot 1 2 \cdot 1 8}{4 \cdot 2 , 8 2 8 \cdot 2 0} = 9, 55

8. Výpočet těžnic

Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 2 ^{2} + 2 \cdot 1 8 ^{2} - 1 0 ^{2}}{2} = 14, 457 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 8 ^{2} + 2 \cdot 1 0 ^{2} - 1 2 ^{2}}{2} = 13, 266 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 0 ^{2} + 2 \cdot 1 2 ^{2} - 1 8 ^{2}}{2} = 6, 403

Vypočítat další trojúhelník