Trojúhelník 10 12 20

Tupouhlý různostranný trojúhelník.

Délky stran trojúhelníku:
a = 10
b = 12
c = 20

Obsah trojúhelníku: S = 45,59660524607
Obvod trojúhelníku: o = 42
Semiperimeter (poloobvod): s = 21

Úhel ∠ A = α = 22,33216450092° = 22°19'54″ = 0,39897607328 rad
Úhel ∠ B = β = 27,12767531173° = 27°7'36″ = 0,47334511573 rad
Úhel ∠ C = γ = 130,54216018735° = 130°32'30″ = 2,27883807635 rad

Výška trojúhelníku na stranu a: v_a = 9,11992104921
Výška trojúhelníku na stranu b: v_b = 7,59993420768
Výška trojúhelníku na stranu c: v_c = 4,56596052461

Těžnice: t_a = 15,71662336455
Těžnice: t_b = 14,62987388383
Těžnice: t_c = 4,69904157598

Poloměr vepsané kružnice: r = 2,17112405934
Poloměr opsané kružnice: R = 13,15990338992

Souřadnice vrcholů: A[20; 0] B[0; 0] C[8,9; 4,56596052461]
Těžiště: T[9,63333333333; 1,52198684154]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[10; -8,55333720345]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[9; 2,17112405934]

Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 157,66883549908° = 157°40'6″ = 0,39897607328 rad
∠ B' = β' = 152,87332468827° = 152°52'24″ = 0,47334511573 rad
∠ C' = γ' = 49,45883981265° = 49°27'30″ = 2,27883807635 rad

Vypočítat další trojúhelník

Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?

Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen.

a = 10 b = 12 c = 20

1. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran

o = a + b + c = 10 + 12 + 20 = 42

2. Poloviční obvod trojúhelníku

Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{4 2}{2} = 21

3. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce

Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 21 (21 - 10) (21 - 12) (21 - 20) S = 2079 = 45, 6

4. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.

Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 4 5 , 6}{1 0} = 9, 12 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 4 5 , 6}{1 2} = 7, 6 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 4 5 , 6}{2 0} = 4, 56

5. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty

Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{1 2 ^{2} + 2 0 ^{2} - 1 0 ^{2}}{2 \cdot 1 2 \cdot 2 0}) = 22 ° 1 9^{'} 54 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{1 0 ^{2} + 2 0 ^{2} - 1 2 ^{2}}{2 \cdot 1 0 \cdot 2 0}) = 27 ° 7^{'} 36 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 22 ° 1 9^{'} 54 " - 27 ° 7^{'} 36 " = 130 ° 3 2^{'} 30 "

6. Poloměr vepsané kružnice

Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{4 5 , 6}{2 1} = 2, 17

7. Poloměr opsané kružnice

Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{1 0 \cdot 1 2 \cdot 2 0}{4 \cdot 2 , 1 7 1 \cdot 2 1} = 13, 16

8. Výpočet těžnic

Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 2 ^{2} + 2 \cdot 2 0 ^{2} - 1 0 ^{2}}{2} = 15, 716 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 2 0 ^{2} + 2 \cdot 1 0 ^{2} - 1 2 ^{2}}{2} = 14, 629 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 0 ^{2} + 2 \cdot 1 2 ^{2} - 2 0 ^{2}}{2} = 4, 69

Vypočítat další trojúhelník