Trojúhelník 10 12 21

Tupouhlý různostranný trojúhelník.

Délky stran trojúhelníku:
a = 10
b = 12
c = 21

Obsah trojúhelníku: S = 34,2770067114
Obvod trojúhelníku: o = 43
Semiperimeter (poloobvod): s = 21,5

Úhel ∠ A = α = 15,78223998562° = 15°46'57″ = 0,27554548414 rad
Úhel ∠ B = β = 19,04992993211° = 19°2'57″ = 0,33224729934 rad
Úhel ∠ C = γ = 145,16883008227° = 145°10'6″ = 2,53436648189 rad

Výška trojúhelníku na stranu a: v_a = 6,85440134228
Výška trojúhelníku na stranu b: v_b = 5,71216778523
Výška trojúhelníku na stranu c: v_c = 3,26438159156

Těžnice: t_a = 16,35554272338
Těžnice: t_b = 15,31333928311
Těžnice: t_c = 3,42878273002

Poloměr vepsané kružnice: r = 1,594395661
Poloměr opsané kružnice: R = 18,38333897349

Souřadnice vrcholů: A[21; 0] B[0; 0] C[9,45223809524; 3,26438159156]
Těžiště: T[10,15107936508; 1,08879386385]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[10,5; -15,09896990741]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[9,5; 1,594395661]

Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 164,21876001438° = 164°13'3″ = 0,27554548414 rad
∠ B' = β' = 160,95107006789° = 160°57'3″ = 0,33224729934 rad
∠ C' = γ' = 34,83216991773° = 34°49'54″ = 2,53436648189 rad

Vypočítat další trojúhelník

Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?

Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen.

a = 10 b = 12 c = 21

1. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran

o = a + b + c = 10 + 12 + 21 = 43

2. Poloviční obvod trojúhelníku

Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{4 3}{2} = 21, 5

3. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce

Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 21, 5 (21, 5 - 10) (21, 5 - 12) (21, 5 - 21) S = 1174, 44 = 34, 27

4. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.

Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 3 4 , 2 7}{1 0} = 6, 85 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 3 4 , 2 7}{1 2} = 5, 71 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 3 4 , 2 7}{2 1} = 3, 26

5. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty

Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{1 2 ^{2} + 2 1 ^{2} - 1 0 ^{2}}{2 \cdot 1 2 \cdot 2 1}) = 15 ° 4 6^{'} 57 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{1 0 ^{2} + 2 1 ^{2} - 1 2 ^{2}}{2 \cdot 1 0 \cdot 2 1}) = 19 ° 2^{'} 57 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 15 ° 4 6^{'} 57 " - 19 ° 2^{'} 57 " = 145 ° 1 0^{'} 6 "

6. Poloměr vepsané kružnice

Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{3 4 , 2 7}{2 1 , 5} = 1, 59

7. Poloměr opsané kružnice

Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{1 0 \cdot 1 2 \cdot 2 1}{4 \cdot 1 , 5 9 4 \cdot 2 1 , 5} = 18, 38

8. Výpočet těžnic

Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 2 ^{2} + 2 \cdot 2 1 ^{2} - 1 0 ^{2}}{2} = 16, 355 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 2 1 ^{2} + 2 \cdot 1 0 ^{2} - 1 2 ^{2}}{2} = 15, 313 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 0 ^{2} + 2 \cdot 1 2 ^{2} - 2 1 ^{2}}{2} = 3, 428

Vypočítat další trojúhelník