Trojúhelník 10 13 13
Ostroúhlý rovnoramenný trojúhelník.
Délky stran trojúhelníku:a = 10
b = 13
c = 13
Obsah trojúhelníku: S = 60
Obvod trojúhelníku: o = 36
Semiperimeter (poloobvod): s = 18
Úhel ∠ A = α = 45,24397298961° = 45°14'23″ = 0,79895822394 rad
Úhel ∠ B = β = 67,3880135052° = 67°22'49″ = 1,17660052071 rad
Úhel ∠ C = γ = 67,3880135052° = 67°22'49″ = 1,17660052071 rad
Výška trojúhelníku na stranu a: va = 12
Výška trojúhelníku na stranu b: vb = 9,23107692308
Výška trojúhelníku na stranu c: vc = 9,23107692308
Těžnice: ta = 12
Těžnice: tb = 9,60546863561
Těžnice: tc = 9,60546863561
Poloměr vepsané kružnice: r = 3,33333333333
Poloměr opsané kružnice: R = 7,04216666667
Souřadnice vrcholů: A[13; 0] B[0; 0] C[3,84661538462; 9,23107692308]
Těžiště: T[5,61553846154; 3,07769230769]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[6,5; 2,70883333333]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[5; 3,33333333333]
Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 134,76602701039° = 134°45'37″ = 0,79895822394 rad
∠ B' = β' = 112,6219864948° = 112°37'11″ = 1,17660052071 rad
∠ C' = γ' = 112,6219864948° = 112°37'11″ = 1,17660052071 rad
Vypočítat další trojúhelník
Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?
Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen.
a=10 b=13 c=13
1. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran
o=a+b+c=10+13+13=36
2. Poloviční obvod trojúhelníku
Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.s=2o=236=18
3. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce
Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.S=s(s−a)(s−b)(s−c) S=18(18−10)(18−13)(18−13) S=3600=60
4. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.
Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.S=2ava va=a2 S=102⋅ 60=12 vb=b2 S=132⋅ 60=9,23 vc=c2 S=132⋅ 60=9,23
5. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty
Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.a2=b2+c2−2bccosα α=arccos(2bcb2+c2−a2)=arccos(2⋅ 13⋅ 13132+132−102)=45°14′23" b2=a2+c2−2accosβ β=arccos(2aca2+c2−b2)=arccos(2⋅ 10⋅ 13102+132−132)=67°22′49" γ=180°−α−β=180°−45°14′23"−67°22′49"=67°22′49"
6. Poloměr vepsané kružnice
Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.S=rs r=sS=1860=3,33
7. Poloměr opsané kružnice
Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.R=4 rsabc=4⋅ 3,333⋅ 1810⋅ 13⋅ 13=7,04
8. Výpočet těžnic
Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.ta=22b2+2c2−a2=22⋅ 132+2⋅ 132−102=12 tb=22c2+2a2−b2=22⋅ 132+2⋅ 102−132=9,605 tc=22a2+2b2−c2=22⋅ 102+2⋅ 132−132=9,605
Vypočítat další trojúhelník