Trojúhelník 10 13 17

Tupouhlý různostranný trojúhelník.

Délky stran trojúhelníku:
a = 10
b = 13
c = 17

Obsah trojúhelníku: S = 64,80774069841
Obvod trojúhelníku: o = 40
Semiperimeter (poloobvod): s = 20

Úhel ∠ A = α = 35,90884892842° = 35°54'31″ = 0,62767213674 rad
Úhel ∠ B = β = 49,687978493° = 49°40'47″ = 0,86770758187 rad
Úhel ∠ C = γ = 94,41217257858° = 94°24'42″ = 1,64877954675 rad

Výška trojúhelníku na stranu a: v_a = 12,96114813968
Výška trojúhelníku na stranu b: v_b = 9,97703703052
Výška trojúhelníku na stranu c: v_c = 7,62444008217

Těžnice: t_a = 14,28328568571
Těžnice: t_b = 12,33989626793
Těžnice: t_c = 7,8989866919

Poloměr vepsané kružnice: r = 3,24403703492
Poloměr opsané kružnice: R = 8,52552600854

Souřadnice vrcholů: A[17; 0] B[0; 0] C[6,47105882353; 7,62444008217]
Těžiště: T[7,82435294118; 2,54114669406]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[8,5; -0,65657892373]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[7; 3,24403703492]

Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 144,09215107158° = 144°5'29″ = 0,62767213674 rad
∠ B' = β' = 130,322021507° = 130°19'13″ = 0,86770758187 rad
∠ C' = γ' = 85,58882742142° = 85°35'18″ = 1,64877954675 rad

Vypočítat další trojúhelník

Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?

Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen.

a = 10 b = 13 c = 17

1. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran

o = a + b + c = 10 + 13 + 17 = 40

2. Poloviční obvod trojúhelníku

Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{4 0}{2} = 20

3. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce

Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 20 (20 - 10) (20 - 13) (20 - 17) S = 4200 = 64, 81

4. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.

Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 6 4 , 8 1}{1 0} = 12, 96 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 6 4 , 8 1}{1 3} = 9, 97 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 6 4 , 8 1}{1 7} = 7, 62

5. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty

Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{1 3 ^{2} + 1 7 ^{2} - 1 0 ^{2}}{2 \cdot 1 3 \cdot 1 7}) = 35 ° 5 4^{'} 31 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{1 0 ^{2} + 1 7 ^{2} - 1 3 ^{2}}{2 \cdot 1 0 \cdot 1 7}) = 49 ° 4 0^{'} 47 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 35 ° 5 4^{'} 31 " - 49 ° 4 0^{'} 47 " = 94 ° 2 4^{'} 42 "

6. Poloměr vepsané kružnice

Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{6 4 , 8 1}{2 0} = 3, 24

7. Poloměr opsané kružnice

Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{1 0 \cdot 1 3 \cdot 1 7}{4 \cdot 3 , 2 4 \cdot 2 0} = 8, 53

8. Výpočet těžnic

Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 3 ^{2} + 2 \cdot 1 7 ^{2} - 1 0 ^{2}}{2} = 14, 283 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 7 ^{2} + 2 \cdot 1 0 ^{2} - 1 3 ^{2}}{2} = 12, 339 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 0 ^{2} + 2 \cdot 1 3 ^{2} - 1 7 ^{2}}{2} = 7, 89

Vypočítat další trojúhelník