Trojúhelník 10 13 19
Tupouhlý různostranný trojúhelník.
Délky stran trojúhelníku:a = 10
b = 13
c = 19
Obsah trojúhelníku: S = 60,79547366143
Obvod trojúhelníku: o = 42
Semiperimeter (poloobvod): s = 21
Úhel ∠ A = α = 29,49895673359° = 29°29'22″ = 0,5154690045 rad
Úhel ∠ B = β = 39,78876882825° = 39°47'16″ = 0,69444261623 rad
Úhel ∠ C = γ = 110,72327443816° = 110°43'22″ = 1,93224764463 rad
Výška trojúhelníku na stranu a: va = 12,15989473229
Výška trojúhelníku na stranu b: vb = 9,35330364022
Výška trojúhelníku na stranu c: vc = 6,39994459594
Těžnice: ta = 15,49219333848
Těžnice: tb = 13,7220422734
Těžnice: tc = 6,65220673478
Poloměr vepsané kružnice: r = 2,89549874578
Poloměr opsané kružnice: R = 10,15771292909
Souřadnice vrcholů: A[19; 0] B[0; 0] C[7,68442105263; 6,39994459594]
Těžiště: T[8,89547368421; 2,13331486531]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[9,5; -3,59440611337]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[8; 2,89549874578]
Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 150,51104326641° = 150°30'38″ = 0,5154690045 rad
∠ B' = β' = 140,21223117175° = 140°12'44″ = 0,69444261623 rad
∠ C' = γ' = 69,27772556184° = 69°16'38″ = 1,93224764463 rad
Vypočítat další trojúhelník
Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?
Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen.
a=10 b=13 c=19
1. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran
o=a+b+c=10+13+19=42
2. Poloviční obvod trojúhelníku
Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.s=2o=242=21
3. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce
Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.S=s(s−a)(s−b)(s−c) S=21(21−10)(21−13)(21−19) S=3696=60,79
4. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.
Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.S=2ava va=a2 S=102⋅ 60,79=12,16 vb=b2 S=132⋅ 60,79=9,35 vc=c2 S=192⋅ 60,79=6,4
5. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty
Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.a2=b2+c2−2bccosα α=arccos(2bcb2+c2−a2)=arccos(2⋅ 13⋅ 19132+192−102)=29°29′22" b2=a2+c2−2accosβ β=arccos(2aca2+c2−b2)=arccos(2⋅ 10⋅ 19102+192−132)=39°47′16" γ=180°−α−β=180°−29°29′22"−39°47′16"=110°43′22"
6. Poloměr vepsané kružnice
Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.S=rs r=sS=2160,79=2,89
7. Poloměr opsané kružnice
Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.R=4 rsabc=4⋅ 2,895⋅ 2110⋅ 13⋅ 19=10,16
8. Výpočet těžnic
Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.ta=22b2+2c2−a2=22⋅ 132+2⋅ 192−102=15,492 tb=22c2+2a2−b2=22⋅ 192+2⋅ 102−132=13,72 tc=22a2+2b2−c2=22⋅ 102+2⋅ 132−192=6,652
Vypočítat další trojúhelník