Trojúhelník 10 13 20
Tupouhlý různostranný trojúhelník.
Délky stran trojúhelníku:a = 10
b = 13
c = 20
Obsah trojúhelníku: S = 56,14765715783
Obvod trojúhelníku: o = 43
Semiperimeter (poloobvod): s = 21,5
Úhel ∠ A = α = 25,58879901207° = 25°35'17″ = 0,44765946766 rad
Úhel ∠ B = β = 34,15772224785° = 34°9'26″ = 0,59661559956 rad
Úhel ∠ C = γ = 120,25547874008° = 120°15'17″ = 2,09988419814 rad
Výška trojúhelníku na stranu a: va = 11,22993143157
Výška trojúhelníku na stranu b: vb = 8,6387934089
Výška trojúhelníku na stranu c: vc = 5,61546571578
Těžnice: ta = 16,10990036936
Těžnice: tb = 14,41435353054
Těžnice: tc = 5,87436700622
Poloměr vepsané kružnice: r = 2,61114684455
Poloměr opsané kružnice: R = 11,57768422137
Souřadnice vrcholů: A[20; 0] B[0; 0] C[8,275; 5,61546571578]
Těžiště: T[9,425; 1,87215523859]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[10; -5,8332947423]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[8,5; 2,61114684455]
Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 154,41220098793° = 154°24'43″ = 0,44765946766 rad
∠ B' = β' = 145,84327775215° = 145°50'34″ = 0,59661559956 rad
∠ C' = γ' = 59,74552125992° = 59°44'43″ = 2,09988419814 rad
Vypočítat další trojúhelník
Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?
Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen.
a=10 b=13 c=20
1. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran
o=a+b+c=10+13+20=43
2. Poloviční obvod trojúhelníku
Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.s=2o=243=21,5
3. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce
Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.S=s(s−a)(s−b)(s−c) S=21,5(21,5−10)(21,5−13)(21,5−20) S=3152,44=56,15
4. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.
Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.S=2ava va=a2 S=102⋅ 56,15=11,23 vb=b2 S=132⋅ 56,15=8,64 vc=c2 S=202⋅ 56,15=5,61
5. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty
Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.a2=b2+c2−2bccosα α=arccos(2bcb2+c2−a2)=arccos(2⋅ 13⋅ 20132+202−102)=25°35′17" b2=a2+c2−2accosβ β=arccos(2aca2+c2−b2)=arccos(2⋅ 10⋅ 20102+202−132)=34°9′26" γ=180°−α−β=180°−25°35′17"−34°9′26"=120°15′17"
6. Poloměr vepsané kružnice
Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.S=rs r=sS=21,556,15=2,61
7. Poloměr opsané kružnice
Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.R=4 rsabc=4⋅ 2,611⋅ 21,510⋅ 13⋅ 20=11,58
8. Výpočet těžnic
Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.ta=22b2+2c2−a2=22⋅ 132+2⋅ 202−102=16,109 tb=22c2+2a2−b2=22⋅ 202+2⋅ 102−132=14,414 tc=22a2+2b2−c2=22⋅ 102+2⋅ 132−202=5,874
Vypočítat další trojúhelník