Trojúhelník 10 13 21
Tupouhlý různostranný trojúhelník.
Délky stran trojúhelníku:a = 10
b = 13
c = 21
Obsah trojúhelníku: S = 48,74442304278
Obvod trojúhelníku: o = 44
Semiperimeter (poloobvod): s = 22
Úhel ∠ A = α = 20,92222396826° = 20°55'20″ = 0,36551619694 rad
Úhel ∠ B = β = 27,66604498993° = 27°39'38″ = 0,48327659233 rad
Úhel ∠ C = γ = 131,41773104181° = 131°25'2″ = 2,29436647609 rad
Výška trojúhelníku na stranu a: va = 9,74988460856
Výška trojúhelníku na stranu b: vb = 7,49991123735
Výška trojúhelníku na stranu c: vc = 4,64223076598
Těžnice: ta = 16,73332005307
Těžnice: tb = 15,10879449297
Těžnice: tc = 4,92444289009
Poloměr vepsané kružnice: r = 2,21656468376
Poloměr opsané kružnice: R = 14,00216570989
Souřadnice vrcholů: A[21; 0] B[0; 0] C[8,85771428571; 4,64223076598]
Těžiště: T[9,95223809524; 1,54774358866]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[10,5; -9,26326346962]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[9; 2,21656468376]
Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 159,07877603174° = 159°4'40″ = 0,36551619694 rad
∠ B' = β' = 152,34395501007° = 152°20'22″ = 0,48327659233 rad
∠ C' = γ' = 48,58326895819° = 48°34'58″ = 2,29436647609 rad
Vypočítat další trojúhelník
Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?
Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen.
a=10 b=13 c=21
1. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran
o=a+b+c=10+13+21=44
2. Poloviční obvod trojúhelníku
Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.s=2o=244=22
3. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce
Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.S=s(s−a)(s−b)(s−c) S=22(22−10)(22−13)(22−21) S=2376=48,74
4. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.
Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.S=2ava va=a2 S=102⋅ 48,74=9,75 vb=b2 S=132⋅ 48,74=7,5 vc=c2 S=212⋅ 48,74=4,64
5. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty
Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.a2=b2+c2−2bccosα α=arccos(2bcb2+c2−a2)=arccos(2⋅ 13⋅ 21132+212−102)=20°55′20" b2=a2+c2−2accosβ β=arccos(2aca2+c2−b2)=arccos(2⋅ 10⋅ 21102+212−132)=27°39′38" γ=180°−α−β=180°−20°55′20"−27°39′38"=131°25′2"
6. Poloměr vepsané kružnice
Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.S=rs r=sS=2248,74=2,22
7. Poloměr opsané kružnice
Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.R=4 rsabc=4⋅ 2,216⋅ 2210⋅ 13⋅ 21=14
8. Výpočet těžnic
Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.ta=22b2+2c2−a2=22⋅ 132+2⋅ 212−102=16,733 tb=22c2+2a2−b2=22⋅ 212+2⋅ 102−132=15,108 tc=22a2+2b2−c2=22⋅ 102+2⋅ 132−212=4,924
Vypočítat další trojúhelník