Trojúhelník 10 13 22

Tupouhlý různostranný trojúhelník.

Délky stran trojúhelníku:
a = 10
b = 13
c = 22

Obsah trojúhelníku: S = 36,5550478793
Obvod trojúhelníku: o = 45
Semiperimeter (poloobvod): s = 22,5

Úhel ∠ A = α = 14,80990077489° = 14°48'32″ = 0,25884659442 rad
Úhel ∠ B = β = 19,40770433824° = 19°24'25″ = 0,33987168051 rad
Úhel ∠ C = γ = 145,78439488687° = 145°47'2″ = 2,54444099043 rad

Výška trojúhelníku na stranu a: v_a = 7,31100957586
Výška trojúhelníku na stranu b: v_b = 5,62331505835
Výška trojúhelníku na stranu c: v_c = 3,32327707994

Těžnice: t_a = 17,36437553542
Těžnice: t_b = 15,80334806293
Těžnice: t_c = 3,67442346142

Poloměr vepsané kružnice: r = 1,62444657241
Poloměr opsané kružnice: R = 19,56219872464

Souřadnice vrcholů: A[22; 0] B[0; 0] C[9,43218181818; 3,32327707994]
Těžiště: T[10,47772727273; 1,10875902665]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[11; -16,17662586845]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[9,5; 1,62444657241]

Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 165,19109922511° = 165°11'28″ = 0,25884659442 rad
∠ B' = β' = 160,59329566176° = 160°35'35″ = 0,33987168051 rad
∠ C' = γ' = 34,21660511313° = 34°12'58″ = 2,54444099043 rad

Vypočítat další trojúhelník

Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?

Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen.

a = 10 b = 13 c = 22

1. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran

o = a + b + c = 10 + 13 + 22 = 45

2. Poloviční obvod trojúhelníku

Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{4 5}{2} = 22, 5

3. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce

Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 22, 5 (22, 5 - 10) (22, 5 - 13) (22, 5 - 22) S = 1335, 94 = 36, 55

4. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.

Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 3 6 , 5 5}{1 0} = 7, 31 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 3 6 , 5 5}{1 3} = 5, 62 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 3 6 , 5 5}{2 2} = 3, 32

5. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty

Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{1 3 ^{2} + 2 2 ^{2} - 1 0 ^{2}}{2 \cdot 1 3 \cdot 2 2}) = 14 ° 4 8^{'} 32 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{1 0 ^{2} + 2 2 ^{2} - 1 3 ^{2}}{2 \cdot 1 0 \cdot 2 2}) = 19 ° 2 4^{'} 25 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 14 ° 4 8^{'} 32 " - 19 ° 2 4^{'} 25 " = 145 ° 4 7^{'} 2 "

6. Poloměr vepsané kružnice

Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{3 6 , 5 5}{2 2 , 5} = 1, 62

7. Poloměr opsané kružnice

Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{1 0 \cdot 1 3 \cdot 2 2}{4 \cdot 1 , 6 2 4 \cdot 2 2 , 5} = 19, 56

8. Výpočet těžnic

Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 3 ^{2} + 2 \cdot 2 2 ^{2} - 1 0 ^{2}}{2} = 17, 364 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 2 2 ^{2} + 2 \cdot 1 0 ^{2} - 1 3 ^{2}}{2} = 15, 803 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 0 ^{2} + 2 \cdot 1 3 ^{2} - 2 2 ^{2}}{2} = 3, 674

Vypočítat další trojúhelník