Trojúhelník 10 14 15

Ostroúhlý různostranný trojúhelník.

Délky stran trojúhelníku:
a = 10
b = 14
c = 15

Obsah trojúhelníku: S = 67,71221665582
Obvod trojúhelníku: o = 39
Semiperimeter (poloobvod): s = 19,5

Úhel ∠ A = α = 40,15765122086° = 40°9'23″ = 0,70108633542 rad
Úhel ∠ B = β = 64,53224398575° = 64°31'57″ = 1,12663035499 rad
Úhel ∠ C = γ = 75,31110479339° = 75°18'40″ = 1,31444257496 rad

Výška trojúhelníku na stranu a: v_a = 13,54224333116
Výška trojúhelníku na stranu b: v_b = 9,67331666512
Výška trojúhelníku na stranu c: v_c = 9,02882888744

Těžnice: t_a = 13,62198384719
Těžnice: t_b = 10,65436378763
Těžnice: t_c = 9,57986220303

Poloměr vepsané kružnice: r = 3,47224187979
Poloměr opsané kružnice: R = 7,75334072041

Souřadnice vrcholů: A[15; 0] B[0; 0] C[4,3; 9,02882888744]
Těžiště: T[6,43333333333; 3,00994296248]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[7,5; 1,9666042541]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[5,5; 3,47224187979]

Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 139,84334877914° = 139°50'37″ = 0,70108633542 rad
∠ B' = β' = 115,46875601425° = 115°28'3″ = 1,12663035499 rad
∠ C' = γ' = 104,68989520661° = 104°41'20″ = 1,31444257496 rad

Vypočítat další trojúhelník

Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?

Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen.

a = 10 b = 14 c = 15

1. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran

o = a + b + c = 10 + 14 + 15 = 39

2. Poloviční obvod trojúhelníku

Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{3 9}{2} = 19, 5

3. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce

Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 19, 5 (19, 5 - 10) (19, 5 - 14) (19, 5 - 15) S = 4584, 94 = 67, 71

4. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.

Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 6 7 , 7 1}{1 0} = 13, 54 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 6 7 , 7 1}{1 4} = 9, 67 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 6 7 , 7 1}{1 5} = 9, 03

5. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty

Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{1 4 ^{2} + 1 5 ^{2} - 1 0 ^{2}}{2 \cdot 1 4 \cdot 1 5}) = 40 ° 9^{'} 23 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{1 0 ^{2} + 1 5 ^{2} - 1 4 ^{2}}{2 \cdot 1 0 \cdot 1 5}) = 64 ° 3 1^{'} 57 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 40 ° 9^{'} 23 " - 64 ° 3 1^{'} 57 " = 75 ° 1 8^{'} 40 "

6. Poloměr vepsané kružnice

Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{6 7 , 7 1}{1 9 , 5} = 3, 47

7. Poloměr opsané kružnice

Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{1 0 \cdot 1 4 \cdot 1 5}{4 \cdot 3 , 4 7 2 \cdot 1 9 , 5} = 7, 75

8. Výpočet těžnic

Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 4 ^{2} + 2 \cdot 1 5 ^{2} - 1 0 ^{2}}{2} = 13, 62 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 5 ^{2} + 2 \cdot 1 0 ^{2} - 1 4 ^{2}}{2} = 10, 654 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 0 ^{2} + 2 \cdot 1 4 ^{2} - 1 5 ^{2}}{2} = 9, 579

Vypočítat další trojúhelník