Trojúhelník 10 14 17
Ostroúhlý různostranný trojúhelník.
Délky stran trojúhelníku:a = 10
b = 14
c = 17
Obsah trojúhelníku: S = 69,9788121581
Obvod trojúhelníku: o = 41
Semiperimeter (poloobvod): s = 20,5
Úhel ∠ A = α = 36,01988541926° = 36°1'8″ = 0,62986475985 rad
Úhel ∠ B = β = 55,41436895449° = 55°24'49″ = 0,96771513332 rad
Úhel ∠ C = γ = 88,56774562624° = 88°34'3″ = 1,54657937219 rad
Výška trojúhelníku na stranu a: va = 13,99656243162
Výška trojúhelníku na stranu b: vb = 9,99768745116
Výška trojúhelníku na stranu c: vc = 8,2332720186
Těžnice: ta = 14,74878812038
Těžnice: tb = 12,06223380818
Těžnice: tc = 8,70334475928
Poloměr vepsané kružnice: r = 3,41435669064
Poloměr opsané kružnice: R = 8,50326574958
Souřadnice vrcholů: A[17; 0] B[0; 0] C[5,67664705882; 8,2332720186]
Těžiště: T[7,55988235294; 2,7444240062]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[8,5; 0,21325664374]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[6,5; 3,41435669064]
Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 143,98111458074° = 143°58'52″ = 0,62986475985 rad
∠ B' = β' = 124,58663104551° = 124°35'11″ = 0,96771513332 rad
∠ C' = γ' = 91,43325437376° = 91°25'57″ = 1,54657937219 rad
Vypočítat další trojúhelník
Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?
Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen.
a=10 b=14 c=17
1. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran
o=a+b+c=10+14+17=41
2. Poloviční obvod trojúhelníku
Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.s=2o=241=20,5
3. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce
Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.S=s(s−a)(s−b)(s−c) S=20,5(20,5−10)(20,5−14)(20,5−17) S=4896,94=69,98
4. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.
Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.S=2ava va=a2 S=102⋅ 69,98=14 vb=b2 S=142⋅ 69,98=10 vc=c2 S=172⋅ 69,98=8,23
5. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty
Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.a2=b2+c2−2bccosα α=arccos(2bcb2+c2−a2)=arccos(2⋅ 14⋅ 17142+172−102)=36°1′8" b2=a2+c2−2accosβ β=arccos(2aca2+c2−b2)=arccos(2⋅ 10⋅ 17102+172−142)=55°24′49" γ=180°−α−β=180°−36°1′8"−55°24′49"=88°34′3"
6. Poloměr vepsané kružnice
Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.S=rs r=sS=20,569,98=3,41
7. Poloměr opsané kružnice
Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.R=4 rsabc=4⋅ 3,414⋅ 20,510⋅ 14⋅ 17=8,5
8. Výpočet těžnic
Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.ta=22b2+2c2−a2=22⋅ 142+2⋅ 172−102=14,748 tb=22c2+2a2−b2=22⋅ 172+2⋅ 102−142=12,062 tc=22a2+2b2−c2=22⋅ 102+2⋅ 142−172=8,703
Vypočítat další trojúhelník