Trojúhelník 10 14 22

Tupouhlý různostranný trojúhelník.

Délky stran trojúhelníku:
a = 10
b = 14
c = 22

Obsah trojúhelníku: S = 51,87548493974
Obvod trojúhelníku: o = 46
Semiperimeter (poloobvod): s = 23

Úhel ∠ A = α = 19,68550548247° = 19°41'6″ = 0,34435690201 rad
Úhel ∠ B = β = 28,13875265744° = 28°8'15″ = 0,49110924821 rad
Úhel ∠ C = γ = 132,17774186009° = 132°10'39″ = 2,30769311514 rad

Výška trojúhelníku na stranu a: v_a = 10,37549698795
Výška trojúhelníku na stranu b: v_b = 7,41106927711
Výška trojúhelníku na stranu c: v_c = 4,71658953998

Těžnice: t_a = 17,74882393493
Těžnice: t_b = 15,58884572681
Těžnice: t_c = 5,19661524227

Poloměr vepsané kružnice: r = 2,25554282347
Poloměr opsané kružnice: R = 14,84334165871

Souřadnice vrcholů: A[22; 0] B[0; 0] C[8,81881818182; 4,71658953998]
Těžiště: T[10,27327272727; 1,57219651333]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[11; -9,96662939942]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[9; 2,25554282347]

Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 160,31549451753° = 160°18'54″ = 0,34435690201 rad
∠ B' = β' = 151,86224734256° = 151°51'45″ = 0,49110924821 rad
∠ C' = γ' = 47,82325813991° = 47°49'21″ = 2,30769311514 rad

Vypočítat další trojúhelník

Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?

Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen.

a = 10 b = 14 c = 22

1. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran

o = a + b + c = 10 + 14 + 22 = 46

2. Poloviční obvod trojúhelníku

Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{4 6}{2} = 23

3. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce

Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 23 (23 - 10) (23 - 14) (23 - 22) S = 2691 = 51, 87

4. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.

Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 5 1 , 8 7}{1 0} = 10, 37 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 5 1 , 8 7}{1 4} = 7, 41 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 5 1 , 8 7}{2 2} = 4, 72

5. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty

Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{1 4 ^{2} + 2 2 ^{2} - 1 0 ^{2}}{2 \cdot 1 4 \cdot 2 2}) = 19 ° 4 1^{'} 6 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{1 0 ^{2} + 2 2 ^{2} - 1 4 ^{2}}{2 \cdot 1 0 \cdot 2 2}) = 28 ° 8^{'} 15 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 19 ° 4 1^{'} 6 " - 28 ° 8^{'} 15 " = 132 ° 1 0^{'} 39 "

6. Poloměr vepsané kružnice

Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{5 1 , 8 7}{2 3} = 2, 26

7. Poloměr opsané kružnice

Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{1 0 \cdot 1 4 \cdot 2 2}{4 \cdot 2 , 2 5 5 \cdot 2 3} = 14, 84

8. Výpočet těžnic

Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 4 ^{2} + 2 \cdot 2 2 ^{2} - 1 0 ^{2}}{2} = 17, 748 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 2 2 ^{2} + 2 \cdot 1 0 ^{2} - 1 4 ^{2}}{2} = 15, 588 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 0 ^{2} + 2 \cdot 1 4 ^{2} - 2 2 ^{2}}{2} = 5, 196

Vypočítat další trojúhelník