Trojúhelník 10 15 17
Ostroúhlý různostranný trojúhelník.
Délky stran trojúhelníku:a = 10
b = 15
c = 17
Obsah trojúhelníku: S = 74,45880418759
Obvod trojúhelníku: o = 42
Semiperimeter (poloobvod): s = 21
Úhel ∠ A = α = 35,731129198° = 35°43'53″ = 0,6243628691 rad
Úhel ∠ B = β = 61,16108105994° = 61°9'39″ = 1,06774575181 rad
Úhel ∠ C = γ = 83,10878974207° = 83°6'28″ = 1,45105064444 rad
Výška trojúhelníku na stranu a: va = 14,89216083752
Výška trojúhelníku na stranu b: vb = 9,92877389168
Výška trojúhelníku na stranu c: vc = 8,76597696325
Těžnice: ta = 15,23215462117
Těžnice: tb = 11,75879760163
Těžnice: tc = 9,5
Poloměr vepsané kružnice: r = 3,54656210417
Poloměr opsané kružnice: R = 8,56218689928
Souřadnice vrcholů: A[17; 0] B[0; 0] C[4,82435294118; 8,76597696325]
Těžiště: T[7,27545098039; 2,92199232108]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[8,5; 1,02774242791]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[6; 3,54656210417]
Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 144,269870802° = 144°16'7″ = 0,6243628691 rad
∠ B' = β' = 118,83991894006° = 118°50'21″ = 1,06774575181 rad
∠ C' = γ' = 96,89221025793° = 96°53'32″ = 1,45105064444 rad
Vypočítat další trojúhelník
Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?
Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen.
a=10 b=15 c=17
1. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran
o=a+b+c=10+15+17=42
2. Poloviční obvod trojúhelníku
Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.s=2o=242=21
3. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce
Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.S=s(s−a)(s−b)(s−c) S=21(21−10)(21−15)(21−17) S=5544=74,46
4. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.
Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.S=2ava va=a2 S=102⋅ 74,46=14,89 vb=b2 S=152⋅ 74,46=9,93 vc=c2 S=172⋅ 74,46=8,76
5. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty
Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.a2=b2+c2−2bccosα α=arccos(2bcb2+c2−a2)=arccos(2⋅ 15⋅ 17152+172−102)=35°43′53" b2=a2+c2−2accosβ β=arccos(2aca2+c2−b2)=arccos(2⋅ 10⋅ 17102+172−152)=61°9′39" γ=180°−α−β=180°−35°43′53"−61°9′39"=83°6′28"
6. Poloměr vepsané kružnice
Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.S=rs r=sS=2174,46=3,55
7. Poloměr opsané kružnice
Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.R=4 rsabc=4⋅ 3,546⋅ 2110⋅ 15⋅ 17=8,56
8. Výpočet těžnic
Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.ta=22b2+2c2−a2=22⋅ 152+2⋅ 172−102=15,232 tb=22c2+2a2−b2=22⋅ 172+2⋅ 102−152=11,758 tc=22a2+2b2−c2=22⋅ 102+2⋅ 152−172=9,5
Vypočítat další trojúhelník