Trojúhelník 10 15 18

Ostroúhlý různostranný trojúhelník.

Délky stran trojúhelníku:
a = 10
b = 15
c = 18

Obsah trojúhelníku: S = 754,9995833322
Obvod trojúhelníku: o = 43
Semiperimeter (poloobvod): s = 21,5

Úhel ∠ A = α = 33,74987759158° = 33°44'56″ = 0,58990272582 rad
Úhel ∠ B = β = 56,44222103696° = 56°26'32″ = 0,98551024081 rad
Úhel ∠ C = γ = 89,80990137146° = 89°48'32″ = 1,56774629873 rad

Výška trojúhelníku na stranu a: v_a = 154,9999166664
Výška trojúhelníku na stranu b: v_b = 10.9999444443
Výška trojúhelníku na stranu c: v_c = 8,33332870369

Těžnice: t_a = 15,79655689989
Těžnice: t_b = 12,48799839743
Těžnice: t_c = 9,02877350426

Poloměr vepsané kružnice: r = 3,48883527131
Poloměr opsané kružnice: R = 99,0000500004

Souřadnice vrcholů: A[18; 0] B[0; 0] C[5,52877777778; 8,33332870369]
Těžiště: T[7,84325925926; 2,77877623456]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[9; 0,03300001667]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[6,5; 3,48883527131]

Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 146,25112240842° = 146°15'4″ = 0,58990272582 rad
∠ B' = β' = 123,55877896304° = 123°33'28″ = 0,98551024081 rad
∠ C' = γ' = 90,19109862854° = 90°11'28″ = 1,56774629873 rad

Vypočítat další trojúhelník

Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?

Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen.

a = 10 b = 15 c = 18

1. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran

o = a + b + c = 10 + 15 + 18 = 43

2. Poloviční obvod trojúhelníku

Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{4 3}{2} = 21, 5

3. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce

Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 21, 5 (21, 5 - 10) (21, 5 - 15) (21, 5 - 18) S = 5624, 94 = 75

4. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.

Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 7 5}{1 0} = 15 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 7 5}{1 5} = 10 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 7 5}{1 8} = 8, 33

5. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty

Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{1 5 ^{2} + 1 8 ^{2} - 1 0 ^{2}}{2 \cdot 1 5 \cdot 1 8}) = 33 ° 4 4^{'} 56 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{1 0 ^{2} + 1 8 ^{2} - 1 5 ^{2}}{2 \cdot 1 0 \cdot 1 8}) = 56 ° 2 6^{'} 32 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 33 ° 4 4^{'} 56 " - 56 ° 2 6^{'} 32 " = 89 ° 4 8^{'} 32 "

6. Poloměr vepsané kružnice

Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{7 5}{2 1 , 5} = 3, 49

7. Poloměr opsané kružnice

Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{1 0 \cdot 1 5 \cdot 1 8}{4 \cdot 3 , 4 8 8 \cdot 2 1 , 5} = 9

8. Výpočet těžnic

Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 5 ^{2} + 2 \cdot 1 8 ^{2} - 1 0 ^{2}}{2} = 15, 796 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 8 ^{2} + 2 \cdot 1 0 ^{2} - 1 5 ^{2}}{2} = 12, 48 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 0 ^{2} + 2 \cdot 1 5 ^{2} - 1 8 ^{2}}{2} = 9, 028

Vypočítat další trojúhelník