Trojúhelník 10 15 19
Tupouhlý různostranný trojúhelník.
Délky stran trojúhelníku:a = 10
b = 15
c = 19
Obsah trojúhelníku: S = 74,45880418759
Obvod trojúhelníku: o = 44
Semiperimeter (poloobvod): s = 22
Úhel ∠ A = α = 31,50109414399° = 31°30'3″ = 0,55497951456 rad
Úhel ∠ B = β = 51,60769559808° = 51°36'25″ = 0,90107112988 rad
Úhel ∠ C = γ = 96,89221025793° = 96°53'32″ = 1,69110862092 rad
Výška trojúhelníku na stranu a: va = 14,89216083752
Výška trojúhelníku na stranu b: vb = 9,92877389168
Výška trojúhelníku na stranu c: vc = 7,83876886185
Těžnice: ta = 16,37107055437
Těžnice: tb = 13.22003787824
Těžnice: tc = 8,5
Poloměr vepsané kružnice: r = 3,38444564489
Poloměr opsané kružnice: R = 9,56991476978
Souřadnice vrcholů: A[19; 0] B[0; 0] C[6,21105263158; 7,83876886185]
Těžiště: T[8,40435087719; 2,61325628728]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[9,5; -1,14882977237]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[7; 3,38444564489]
Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 148,49990585601° = 148°29'57″ = 0,55497951456 rad
∠ B' = β' = 128,39330440192° = 128°23'35″ = 0,90107112988 rad
∠ C' = γ' = 83,10878974207° = 83°6'28″ = 1,69110862092 rad
Vypočítat další trojúhelník
Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?
Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen.
a=10 b=15 c=19
1. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran
o=a+b+c=10+15+19=44
2. Poloviční obvod trojúhelníku
Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.s=2o=244=22
3. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce
Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.S=s(s−a)(s−b)(s−c) S=22(22−10)(22−15)(22−19) S=5544=74,46
4. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.
Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.S=2ava va=a2 S=102⋅ 74,46=14,89 vb=b2 S=152⋅ 74,46=9,93 vc=c2 S=192⋅ 74,46=7,84
5. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty
Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.a2=b2+c2−2bccosα α=arccos(2bcb2+c2−a2)=arccos(2⋅ 15⋅ 19152+192−102)=31°30′3" b2=a2+c2−2accosβ β=arccos(2aca2+c2−b2)=arccos(2⋅ 10⋅ 19102+192−152)=51°36′25" γ=180°−α−β=180°−31°30′3"−51°36′25"=96°53′32"
6. Poloměr vepsané kružnice
Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.S=rs r=sS=2274,46=3,38
7. Poloměr opsané kružnice
Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.R=4 rsabc=4⋅ 3,384⋅ 2210⋅ 15⋅ 19=9,57
8. Výpočet těžnic
Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.ta=22b2+2c2−a2=22⋅ 152+2⋅ 192−102=16,371 tb=22c2+2a2−b2=22⋅ 192+2⋅ 102−152=13,2 tc=22a2+2b2−c2=22⋅ 102+2⋅ 152−192=8,5
Vypočítat další trojúhelník