Trojúhelník 10 15 22

Tupouhlý různostranný trojúhelník.

Délky stran trojúhelníku:
a = 10
b = 15
c = 22

Obsah trojúhelníku: S = 63.6599823113
Obvod trojúhelníku: o = 47
Semiperimeter (poloobvod): s = 23,5

Úhel ∠ A = α = 22,67218953288° = 22°40'19″ = 0,39656992212 rad
Úhel ∠ B = β = 35,32326498434° = 35°19'22″ = 0,61664965403 rad
Úhel ∠ C = γ = 122,00554548278° = 122°20″ = 2,12993968921 rad

Výška trojúhelníku na stranu a: v_a = 12,72199646226
Výška trojúhelníku na stranu b: v_b = 8,48799764151
Výška trojúhelníku na stranu c: v_c = 5,78218021012

Těžnice: t_a = 18,15221348607
Těžnice: t_b = 15,35441525328
Těžnice: t_c = 6,44220493634

Poloměr vepsané kružnice: r = 2,70663754516
Poloměr opsané kružnice: R = 12,97217341907

Souřadnice vrcholů: A[22; 0] B[0; 0] C[8,15990909091; 5,78218021012]
Těžiště: T[10,0533030303; 1,92772673671]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[11; -6,87550191211]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[8,5; 2,70663754516]

Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 157,32881046712° = 157°19'41″ = 0,39656992212 rad
∠ B' = β' = 144,67773501566° = 144°40'38″ = 0,61664965403 rad
∠ C' = γ' = 57,99545451722° = 57°59'40″ = 2,12993968921 rad

Vypočítat další trojúhelník

Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?

Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen.

a = 10 b = 15 c = 22

1. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran

o = a + b + c = 10 + 15 + 22 = 47

2. Poloviční obvod trojúhelníku

Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{4 7}{2} = 23, 5

3. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce

Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.

4. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.

Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.

5. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty

Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{1 5 ^{2} + 2 2 ^{2} - 1 0 ^{2}}{2 \cdot 1 5 \cdot 2 2}) = 22 ° 4 0^{'} 19 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{1 0 ^{2} + 2 2 ^{2} - 1 5 ^{2}}{2 \cdot 1 0 \cdot 2 2}) = 35 ° 1 9^{'} 22 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 22 ° 4 0^{'} 19 " - 35 ° 1 9^{'} 22 " = 122 ° 20 "

6. Poloměr vepsané kružnice

Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{6 3 , 6}{2 3 , 5} = 2, 71

7. Poloměr opsané kružnice

Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{1 0 \cdot 1 5 \cdot 2 2}{4 \cdot 2 , 7 0 6 \cdot 2 3 , 5} = 12, 97

8. Výpočet těžnic

Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.

Vypočítat další trojúhelník