Trojúhelník 10 15 24
Tupouhlý různostranný trojúhelník.
Délky stran trojúhelníku:a = 10
b = 15
c = 24
Obsah trojúhelníku: S = 41,07884310801
Obvod trojúhelníku: o = 49
Semiperimeter (poloobvod): s = 24,5
Úhel ∠ A = α = 13,19219161626° = 13°11'31″ = 0,23302423717 rad
Úhel ∠ B = β = 20,01882999855° = 20°1'6″ = 0,34993852454 rad
Úhel ∠ C = γ = 146,79897838519° = 146°47'23″ = 2,56219650365 rad
Výška trojúhelníku na stranu a: va = 8,2165686216
Výška trojúhelníku na stranu b: vb = 5,4777124144
Výška trojúhelníku na stranu c: vc = 3,423320259
Těžnice: ta = 19,37878223751
Těžnice: tb = 16,78554103316
Těžnice: tc = 4,30111626335
Poloměr vepsané kružnice: r = 1,67766706563
Poloměr opsané kružnice: R = 21,90993080319
Souřadnice vrcholů: A[24; 0] B[0; 0] C[9,39658333333; 3,423320259]
Těžiště: T[11,13219444444; 1,141106753]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[12; -18,331078772]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[9,5; 1,67766706563]
Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 166,80880838374° = 166°48'29″ = 0,23302423717 rad
∠ B' = β' = 159,98217000145° = 159°58'54″ = 0,34993852454 rad
∠ C' = γ' = 33,21102161481° = 33°12'37″ = 2,56219650365 rad
Vypočítat další trojúhelník
Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?
Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen.
a=10 b=15 c=24
1. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran
o=a+b+c=10+15+24=49
2. Poloviční obvod trojúhelníku
Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.s=2o=249=24,5
3. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce
Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.S=s(s−a)(s−b)(s−c) S=24,5(24,5−10)(24,5−15)(24,5−24) S=1687,44=41,08
4. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.
Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.S=2ava va=a2 S=102⋅ 41,08=8,22 vb=b2 S=152⋅ 41,08=5,48 vc=c2 S=242⋅ 41,08=3,42
5. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty
Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.a2=b2+c2−2bccosα α=arccos(2bcb2+c2−a2)=arccos(2⋅ 15⋅ 24152+242−102)=13°11′31" b2=a2+c2−2accosβ β=arccos(2aca2+c2−b2)=arccos(2⋅ 10⋅ 24102+242−152)=20°1′6" γ=180°−α−β=180°−13°11′31"−20°1′6"=146°47′23"
6. Poloměr vepsané kružnice
Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.S=rs r=sS=24,541,08=1,68
7. Poloměr opsané kružnice
Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.R=4 rsabc=4⋅ 1,677⋅ 24,510⋅ 15⋅ 24=21,91
8. Výpočet těžnic
Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.ta=22b2+2c2−a2=22⋅ 152+2⋅ 242−102=19,378 tb=22c2+2a2−b2=22⋅ 242+2⋅ 102−152=16,785 tc=22a2+2b2−c2=22⋅ 102+2⋅ 152−242=4,301
Vypočítat další trojúhelník