Trojúhelník 10 16 25

Tupouhlý různostranný trojúhelník.

Délky stran trojúhelníku:
a = 10
b = 16
c = 25

Obsah trojúhelníku: S = 43,32994068734
Obvod trojúhelníku: o = 51
Semiperimeter (poloobvod): s = 25,5

Úhel ∠ A = α = 12,51221731473° = 12°30'44″ = 0,2188378618 rad
Úhel ∠ B = β = 20,2821649813° = 20°16'54″ = 0,3543981567 rad
Úhel ∠ C = γ = 147,20661770397° = 147°12'22″ = 2,56992324686 rad

Výška trojúhelníku na stranu a: v_a = 8,66658813747
Výška trojúhelníku na stranu b: v_b = 5,41661758592
Výška trojúhelníku na stranu c: v_c = 3,46663525499

Těžnice: t_a = 20,38438171106
Těžnice: t_b = 17,27771525432
Těžnice: t_c = 4,66436895265

Poloměr vepsané kružnice: r = 1,69991924264
Poloměr opsané kružnice: R = 23,07990142806

Souřadnice vrcholů: A[25; 0] B[0; 0] C[9,38; 3,46663525499]
Těžiště: T[11,46; 1,155545085]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[12,5; -19,40107963796]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[9,5; 1,69991924264]

Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 167,48878268527° = 167°29'16″ = 0,2188378618 rad
∠ B' = β' = 159,71883501871° = 159°43'6″ = 0,3543981567 rad
∠ C' = γ' = 32,79438229603° = 32°47'38″ = 2,56992324686 rad

Vypočítat další trojúhelník

Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?

Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen.

a = 10 b = 16 c = 25

1. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran

o = a + b + c = 10 + 16 + 25 = 51

2. Poloviční obvod trojúhelníku

Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{5 1}{2} = 25, 5

3. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce

Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 25, 5 (25, 5 - 10) (25, 5 - 16) (25, 5 - 25) S = 1877, 44 = 43, 33

4. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.

Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 4 3 , 3 3}{1 0} = 8, 67 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 4 3 , 3 3}{1 6} = 5, 42 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 4 3 , 3 3}{2 5} = 3, 47

5. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty

Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{1 6 ^{2} + 2 5 ^{2} - 1 0 ^{2}}{2 \cdot 1 6 \cdot 2 5}) = 12 ° 3 0^{'} 44 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{1 0 ^{2} + 2 5 ^{2} - 1 6 ^{2}}{2 \cdot 1 0 \cdot 2 5}) = 20 ° 1 6^{'} 54 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 12 ° 3 0^{'} 44 " - 20 ° 1 6^{'} 54 " = 147 ° 1 2^{'} 22 "

6. Poloměr vepsané kružnice

Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{4 3 , 3 3}{2 5 , 5} = 1, 7

7. Poloměr opsané kružnice

Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{1 0 \cdot 1 6 \cdot 2 5}{4 \cdot 1 , 6 9 9 \cdot 2 5 , 5} = 23, 08

8. Výpočet těžnic

Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 6 ^{2} + 2 \cdot 2 5 ^{2} - 1 0 ^{2}}{2} = 20, 384 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 2 5 ^{2} + 2 \cdot 1 0 ^{2} - 1 6 ^{2}}{2} = 17, 277 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 0 ^{2} + 2 \cdot 1 6 ^{2} - 2 5 ^{2}}{2} = 4, 664

Vypočítat další trojúhelník