Trojúhelník 10 17 18
Ostroúhlý různostranný trojúhelník.
Délky stran trojúhelníku:a = 10
b = 17
c = 18
Obsah trojúhelníku: S = 83,43222329798
Obvod trojúhelníku: o = 45
Semiperimeter (poloobvod): s = 22,5
Úhel ∠ A = α = 33,04657624726° = 33°2'45″ = 0,5776757359 rad
Úhel ∠ B = β = 67,9765687163° = 67°58'32″ = 1,18663995523 rad
Úhel ∠ C = γ = 78,97985503645° = 78°58'43″ = 1,37884357423 rad
Výška trojúhelníku na stranu a: va = 16,6866446596
Výška trojúhelníku na stranu b: vb = 9,81655568212
Výška trojúhelníku na stranu c: vc = 9,27702481089
Těžnice: ta = 16,77879617356
Těžnice: tb = 11,82215904175
Těžnice: tc = 10,65436378763
Poloměr vepsané kružnice: r = 3,70880992435
Poloměr opsané kružnice: R = 9,16991181295
Souřadnice vrcholů: A[18; 0] B[0; 0] C[3,75; 9,27702481089]
Těžiště: T[7,25; 3,0990082703]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[9; 1,75329196424]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[5,5; 3,70880992435]
Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 146,95442375274° = 146°57'15″ = 0,5776757359 rad
∠ B' = β' = 112,0244312837° = 112°1'28″ = 1,18663995523 rad
∠ C' = γ' = 101,02114496355° = 101°1'17″ = 1,37884357423 rad
Vypočítat další trojúhelník
Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?
Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen.
a=10 b=17 c=18
1. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran
o=a+b+c=10+17+18=45
2. Poloviční obvod trojúhelníku
Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.s=2o=245=22,5
3. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce
Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.S=s(s−a)(s−b)(s−c) S=22,5(22,5−10)(22,5−17)(22,5−18) S=6960,94=83,43
4. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.
Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.S=2ava va=a2 S=102⋅ 83,43=16,69 vb=b2 S=172⋅ 83,43=9,82 vc=c2 S=182⋅ 83,43=9,27
5. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty
Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.a2=b2+c2−2bccosα α=arccos(2bcb2+c2−a2)=arccos(2⋅ 17⋅ 18172+182−102)=33°2′45" b2=a2+c2−2accosβ β=arccos(2aca2+c2−b2)=arccos(2⋅ 10⋅ 18102+182−172)=67°58′32" γ=180°−α−β=180°−33°2′45"−67°58′32"=78°58′43"
6. Poloměr vepsané kružnice
Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.S=rs r=sS=22,583,43=3,71
7. Poloměr opsané kružnice
Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.R=4 rsabc=4⋅ 3,708⋅ 22,510⋅ 17⋅ 18=9,17
8. Výpočet těžnic
Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.ta=22b2+2c2−a2=22⋅ 172+2⋅ 182−102=16,778 tb=22c2+2a2−b2=22⋅ 182+2⋅ 102−172=11,822 tc=22a2+2b2−c2=22⋅ 102+2⋅ 172−182=10,654
Vypočítat další trojúhelník