Trojúhelník 10 17 19
Ostroúhlý různostranný trojúhelník.
Délky stran trojúhelníku:a = 10
b = 17
c = 19
Obsah trojúhelníku: S = 84,71112743382
Obvod trojúhelníku: o = 46
Semiperimeter (poloobvod): s = 23
Úhel ∠ A = α = 31,63664748535° = 31°38'11″ = 0,55221606499 rad
Úhel ∠ B = β = 63,08773509057° = 63°5'14″ = 1,10110819897 rad
Úhel ∠ C = γ = 85,27661742408° = 85°16'34″ = 1,4888350014 rad
Výška trojúhelníku na stranu a: va = 16,94222548676
Výška trojúhelníku na stranu b: vb = 9,96660322751
Výška trojúhelníku na stranu c: vc = 8,91769762461
Těžnice: ta = 17,32105080757
Těžnice: tb = 12,58797456254
Těžnice: tc = 10,21102889283
Poloměr vepsané kružnice: r = 3,68330988843
Poloměr opsané kružnice: R = 9,53223793239
Souřadnice vrcholů: A[19; 0] B[0; 0] C[4,52663157895; 8,91769762461]
Těžiště: T[7,84221052632; 2,97223254154]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[9,5; 0,78550194737]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[6; 3,68330988843]
Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 148,36435251465° = 148°21'49″ = 0,55221606499 rad
∠ B' = β' = 116,91326490943° = 116°54'46″ = 1,10110819897 rad
∠ C' = γ' = 94,72438257592° = 94°43'26″ = 1,4888350014 rad
Vypočítat další trojúhelník
Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?
Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen.
a=10 b=17 c=19
1. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran
o=a+b+c=10+17+19=46
2. Poloviční obvod trojúhelníku
Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.s=2o=246=23
3. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce
Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.S=s(s−a)(s−b)(s−c) S=23(23−10)(23−17)(23−19) S=7176=84,71
4. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.
Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.S=2ava va=a2 S=102⋅ 84,71=16,94 vb=b2 S=172⋅ 84,71=9,97 vc=c2 S=192⋅ 84,71=8,92
5. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty
Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.a2=b2+c2−2bccosα α=arccos(2bcb2+c2−a2)=arccos(2⋅ 17⋅ 19172+192−102)=31°38′11" b2=a2+c2−2accosβ β=arccos(2aca2+c2−b2)=arccos(2⋅ 10⋅ 19102+192−172)=63°5′14" γ=180°−α−β=180°−31°38′11"−63°5′14"=85°16′34"
6. Poloměr vepsané kružnice
Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.S=rs r=sS=2384,71=3,68
7. Poloměr opsané kružnice
Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.R=4 rsabc=4⋅ 3,683⋅ 2310⋅ 17⋅ 19=9,53
8. Výpočet těžnic
Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.ta=22b2+2c2−a2=22⋅ 172+2⋅ 192−102=17,321 tb=22c2+2a2−b2=22⋅ 192+2⋅ 102−172=12,58 tc=22a2+2b2−c2=22⋅ 102+2⋅ 172−192=10,21
Vypočítat další trojúhelník