Trojúhelník 10 17 20
Tupouhlý různostranný trojúhelník.
Délky stran trojúhelníku:a = 10
b = 17
c = 20
Obsah trojúhelníku: S = 84,9565503059
Obvod trojúhelníku: o = 47
Semiperimeter (poloobvod): s = 23,5
Úhel ∠ A = α = 29,98326844873° = 29°58'58″ = 0,52332965629 rad
Úhel ∠ B = β = 58,16333049964° = 58°9'48″ = 1,0155141176 rad
Úhel ∠ C = γ = 91,85440105163° = 91°51'14″ = 1,60331549147 rad
Výška trojúhelníku na stranu a: va = 16,99111006118
Výška trojúhelníku na stranu b: vb = 9,99547650658
Výška trojúhelníku na stranu c: vc = 8,49655503059
Těžnice: ta = 17,87545629317
Těžnice: tb = 13,3322291626
Těžnice: tc = 9,72111110476
Poloměr vepsané kružnice: r = 3,61551277897
Poloměr opsané kružnice: R = 10,00552376761
Souřadnice vrcholů: A[20; 0] B[0; 0] C[5,275; 8,49655503059]
Těžiště: T[8,425; 2,8321850102]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[10; -0,3243698866]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[6,5; 3,61551277897]
Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 150,01773155127° = 150°1'2″ = 0,52332965629 rad
∠ B' = β' = 121,83766950036° = 121°50'12″ = 1,0155141176 rad
∠ C' = γ' = 88,14659894837° = 88°8'46″ = 1,60331549147 rad
Vypočítat další trojúhelník
Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?
Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen.
a=10 b=17 c=20
1. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran
o=a+b+c=10+17+20=47
2. Poloviční obvod trojúhelníku
Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.s=2o=247=23,5
3. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce
Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.S=s(s−a)(s−b)(s−c) S=23,5(23,5−10)(23,5−17)(23,5−20) S=7217,44=84,96
4. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.
Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.S=2ava va=a2 S=102⋅ 84,96=16,99 vb=b2 S=172⋅ 84,96=9,99 vc=c2 S=202⋅ 84,96=8,5
5. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty
Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.a2=b2+c2−2bccosα α=arccos(2bcb2+c2−a2)=arccos(2⋅ 17⋅ 20172+202−102)=29°58′58" b2=a2+c2−2accosβ β=arccos(2aca2+c2−b2)=arccos(2⋅ 10⋅ 20102+202−172)=58°9′48" γ=180°−α−β=180°−29°58′58"−58°9′48"=91°51′14"
6. Poloměr vepsané kružnice
Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.S=rs r=sS=23,584,96=3,62
7. Poloměr opsané kružnice
Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.R=4 rsabc=4⋅ 3,615⋅ 23,510⋅ 17⋅ 20=10,01
8. Výpočet těžnic
Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.ta=22b2+2c2−a2=22⋅ 172+2⋅ 202−102=17,875 tb=22c2+2a2−b2=22⋅ 202+2⋅ 102−172=13,332 tc=22a2+2b2−c2=22⋅ 102+2⋅ 172−202=9,721
Vypočítat další trojúhelník