Trojúhelník 10 19 24
Tupouhlý různostranný trojúhelník.
Délky stran trojúhelníku:a = 10
b = 19
c = 24
Obsah trojúhelníku: S = 90,54552235074
Obvod trojúhelníku: o = 53
Semiperimeter (poloobvod): s = 26,5
Úhel ∠ A = α = 23,39987690434° = 23°23'56″ = 0,40883855607 rad
Úhel ∠ B = β = 48,98655003343° = 48°59'8″ = 0,85549582666 rad
Úhel ∠ C = γ = 107,61657306223° = 107°36'57″ = 1,87882488263 rad
Výška trojúhelníku na stranu a: va = 18,10990447015
Výška trojúhelníku na stranu b: vb = 9,53110761587
Výška trojúhelníku na stranu c: vc = 7,54554352923
Těžnice: ta = 21,05994396887
Těžnice: tb = 15,74400762387
Těžnice: tc = 9,30105376189
Poloměr vepsané kružnice: r = 3,41768008871
Poloměr opsané kružnice: R = 12,59903935718
Souřadnice vrcholů: A[24; 0] B[0; 0] C[6,56325; 7,54554352923]
Těžiště: T[10,18875; 2,51551450974]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[12; -3,81102506862]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[7,5; 3,41768008871]
Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 156,60112309566° = 156°36'4″ = 0,40883855607 rad
∠ B' = β' = 131,01444996657° = 131°52″ = 0,85549582666 rad
∠ C' = γ' = 72,38442693777° = 72°23'3″ = 1,87882488263 rad
Vypočítat další trojúhelník
Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?
Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen.
a=10 b=19 c=24
1. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran
o=a+b+c=10+19+24=53
2. Poloviční obvod trojúhelníku
Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.s=2o=253=26,5
3. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce
Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.S=s(s−a)(s−b)(s−c) S=26,5(26,5−10)(26,5−19)(26,5−24) S=8198,44=90,55
4. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.
Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.S=2ava va=a2 S=102⋅ 90,55=18,11 vb=b2 S=192⋅ 90,55=9,53 vc=c2 S=242⋅ 90,55=7,55
5. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty
Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.a2=b2+c2−2bccosα α=arccos(2bcb2+c2−a2)=arccos(2⋅ 19⋅ 24192+242−102)=23°23′56" b2=a2+c2−2accosβ β=arccos(2aca2+c2−b2)=arccos(2⋅ 10⋅ 24102+242−192)=48°59′8" γ=180°−α−β=180°−23°23′56"−48°59′8"=107°36′57"
6. Poloměr vepsané kružnice
Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.S=rs r=sS=26,590,55=3,42
7. Poloměr opsané kružnice
Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.R=4 rsabc=4⋅ 3,417⋅ 26,510⋅ 19⋅ 24=12,59
8. Výpočet těžnic
Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.ta=22b2+2c2−a2=22⋅ 192+2⋅ 242−102=21,059 tb=22c2+2a2−b2=22⋅ 242+2⋅ 102−192=15,74 tc=22a2+2b2−c2=22⋅ 102+2⋅ 192−242=9,301
Vypočítat další trojúhelník