Trojúhelník 10 20 23
Tupouhlý různostranný trojúhelník.
Délky stran trojúhelníku:a = 10
b = 20
c = 23
Obsah trojúhelníku: S = 99,73768412373
Obvod trojúhelníku: o = 53
Semiperimeter (poloobvod): s = 26,5
Úhel ∠ A = α = 25,69986873132° = 25°41'55″ = 0,44985267071 rad
Úhel ∠ B = β = 60,14437210096° = 60°8'37″ = 1,0549705956 rad
Úhel ∠ C = γ = 94,15875916772° = 94°9'27″ = 1,64333599905 rad
Výška trojúhelníku na stranu a: va = 19,94773682475
Výška trojúhelníku na stranu b: vb = 9,97436841237
Výška trojúhelníku na stranu c: vc = 8,67327688032
Těžnice: ta = 20,96442552932
Těžnice: tb = 14,64658185159
Těžnice: tc = 10,85112672071
Poloměr vepsané kružnice: r = 3,76436543863
Poloměr opsané kružnice: R = 11,53303431083
Souřadnice vrcholů: A[23; 0] B[0; 0] C[4,97882608696; 8,67327688032]
Těžiště: T[9,32660869565; 2,89109229344]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[11,5; -0,83659498753]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[6,5; 3,76436543863]
Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 154,30113126868° = 154°18'5″ = 0,44985267071 rad
∠ B' = β' = 119,85662789904° = 119°51'23″ = 1,0549705956 rad
∠ C' = γ' = 85,84224083228° = 85°50'33″ = 1,64333599905 rad
Vypočítat další trojúhelník
Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?
Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen.
a=10 b=20 c=23
1. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran
o=a+b+c=10+20+23=53
2. Poloviční obvod trojúhelníku
Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.s=2o=253=26,5
3. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce
Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.S=s(s−a)(s−b)(s−c) S=26,5(26,5−10)(26,5−20)(26,5−23) S=9947,44=99,74
4. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.
Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.S=2ava va=a2 S=102⋅ 99,74=19,95 vb=b2 S=202⋅ 99,74=9,97 vc=c2 S=232⋅ 99,74=8,67
5. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty
Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.a2=b2+c2−2bccosα α=arccos(2bcb2+c2−a2)=arccos(2⋅ 20⋅ 23202+232−102)=25°41′55" b2=a2+c2−2accosβ β=arccos(2aca2+c2−b2)=arccos(2⋅ 10⋅ 23102+232−202)=60°8′37" γ=180°−α−β=180°−25°41′55"−60°8′37"=94°9′27"
6. Poloměr vepsané kružnice
Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.S=rs r=sS=26,599,74=3,76
7. Poloměr opsané kružnice
Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.R=4 rsabc=4⋅ 3,764⋅ 26,510⋅ 20⋅ 23=11,53
8. Výpočet těžnic
Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.ta=22b2+2c2−a2=22⋅ 202+2⋅ 232−102=20,964 tb=22c2+2a2−b2=22⋅ 232+2⋅ 102−202=14,646 tc=22a2+2b2−c2=22⋅ 102+2⋅ 202−232=10,851
Vypočítat další trojúhelník