Trojúhelník 10 20 25
Tupouhlý různostranný trojúhelník.
Délky stran trojúhelníku:a = 10
b = 20
c = 25
Obsah trojúhelníku: S = 94,99217759598
Obvod trojúhelníku: o = 55
Semiperimeter (poloobvod): s = 27,5
Úhel ∠ A = α = 22,33216450092° = 22°19'54″ = 0,39897607328 rad
Úhel ∠ B = β = 49,45883981265° = 49°27'30″ = 0,86332118901 rad
Úhel ∠ C = γ = 108,21099568643° = 108°12'36″ = 1,88986200307 rad
Výška trojúhelníku na stranu a: va = 18,9988355192
Výška trojúhelníku na stranu b: vb = 9,4999177596
Výška trojúhelníku na stranu c: vc = 7,59993420768
Těžnice: ta = 22,07994021658
Těžnice: tb = 16,2021851746
Těžnice: tc = 9,68224583655
Poloměr vepsané kružnice: r = 3,45442463985
Poloměr opsané kružnice: R = 13,15990338992
Souřadnice vrcholů: A[25; 0] B[0; 0] C[6,5; 7,59993420768]
Těžiště: T[10,5; 2,53331140256]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[12,5; -4,11221980935]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[7,5; 3,45442463985]
Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 157,66883549908° = 157°40'6″ = 0,39897607328 rad
∠ B' = β' = 130,54216018735° = 130°32'30″ = 0,86332118901 rad
∠ C' = γ' = 71,79900431357° = 71°47'24″ = 1,88986200307 rad
Vypočítat další trojúhelník
Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?
Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen.
a=10 b=20 c=25
1. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran
o=a+b+c=10+20+25=55
2. Poloviční obvod trojúhelníku
Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.s=2o=255=27,5
3. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce
Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.S=s(s−a)(s−b)(s−c) S=27,5(27,5−10)(27,5−20)(27,5−25) S=9023,44=94,99
4. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.
Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.S=2ava va=a2 S=102⋅ 94,99=19 vb=b2 S=202⋅ 94,99=9,5 vc=c2 S=252⋅ 94,99=7,6
5. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty
Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.a2=b2+c2−2bccosα α=arccos(2bcb2+c2−a2)=arccos(2⋅ 20⋅ 25202+252−102)=22°19′54" b2=a2+c2−2accosβ β=arccos(2aca2+c2−b2)=arccos(2⋅ 10⋅ 25102+252−202)=49°27′30" γ=180°−α−β=180°−22°19′54"−49°27′30"=108°12′36"
6. Poloměr vepsané kružnice
Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.S=rs r=sS=27,594,99=3,45
7. Poloměr opsané kružnice
Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.R=4 rsabc=4⋅ 3,454⋅ 27,510⋅ 20⋅ 25=13,16
8. Výpočet těžnic
Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.ta=22b2+2c2−a2=22⋅ 202+2⋅ 252−102=22,079 tb=22c2+2a2−b2=22⋅ 252+2⋅ 102−202=16,202 tc=22a2+2b2−c2=22⋅ 102+2⋅ 202−252=9,682
Vypočítat další trojúhelník