Trojúhelník 10 20 27

Tupouhlý různostranný trojúhelník.

Délky stran trojúhelníku:
a = 10
b = 20
c = 27

Obsah trojúhelníku: S = 81,99904720074
Obvod trojúhelníku: o = 57
Semiperimeter (poloobvod): s = 28,5

Úhel ∠ A = α = 17,6788070483° = 17°40'41″ = 0,30985405353 rad
Úhel ∠ B = β = 37,39771865213° = 37°23'50″ = 0,65327040358 rad
Úhel ∠ C = γ = 124,92547429957° = 124°55'29″ = 2,18803480825 rad

Výška trojúhelníku na stranu a: v_a = 16,39880944015
Výška trojúhelníku na stranu b: v_b = 8,19990472007
Výška trojúhelníku na stranu c: v_c = 6,07333682968

Těžnice: t_a = 23,22771392987
Těžnice: t_b = 17,7344147851
Těžnice: t_c = 8,23110388166

Poloměr vepsané kružnice: r = 2,87768586669
Poloměr opsané kružnice: R = 16,46553278234

Souřadnice vrcholů: A[27; 0] B[0; 0] C[7,94444444444; 6,07333682968]
Těžiště: T[11,64881481481; 2,02444560989]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[13,5; -9,42664001789]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[8,5; 2,87768586669]

Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 162,3221929517° = 162°19'19″ = 0,30985405353 rad
∠ B' = β' = 142,60328134787° = 142°36'10″ = 0,65327040358 rad
∠ C' = γ' = 55,07552570043° = 55°4'31″ = 2,18803480825 rad

Vypočítat další trojúhelník

Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?

Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen.

a = 10 b = 20 c = 27

1. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran

o = a + b + c = 10 + 20 + 27 = 57

2. Poloviční obvod trojúhelníku

Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{5 7}{2} = 28, 5

3. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce

Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 28, 5 (28, 5 - 10) (28, 5 - 20) (28, 5 - 27) S = 6722, 44 = 81, 99

4. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.

Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 8 1 , 9 9}{1 0} = 16, 4 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 8 1 , 9 9}{2 0} = 8, 2 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 8 1 , 9 9}{2 7} = 6, 07

5. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty

Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{2 0 ^{2} + 2 7 ^{2} - 1 0 ^{2}}{2 \cdot 2 0 \cdot 2 7}) = 17 ° 4 0^{'} 41 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{1 0 ^{2} + 2 7 ^{2} - 2 0 ^{2}}{2 \cdot 1 0 \cdot 2 7}) = 37 ° 2 3^{'} 50 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 17 ° 4 0^{'} 41 " - 37 ° 2 3^{'} 50 " = 124 ° 5 5^{'} 29 "

6. Poloměr vepsané kružnice

Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{8 1 , 9 9}{2 8 , 5} = 2, 88

7. Poloměr opsané kružnice

Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{1 0 \cdot 2 0 \cdot 2 7}{4 \cdot 2 , 8 7 7 \cdot 2 8 , 5} = 16, 47

8. Výpočet těžnic

Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 2 0 ^{2} + 2 \cdot 2 7 ^{2} - 1 0 ^{2}}{2} = 23, 227 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 2 7 ^{2} + 2 \cdot 1 0 ^{2} - 2 0 ^{2}}{2} = 17, 734 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 0 ^{2} + 2 \cdot 2 0 ^{2} - 2 7 ^{2}}{2} = 8, 231

Vypočítat další trojúhelník