Trojúhelník 10 20 29

Tupouhlý různostranný trojúhelník.

Délky stran trojúhelníku:
a = 10
b = 20
c = 29

Obsah trojúhelníku: S = 52,2732722332
Obvod trojúhelníku: o = 59
Semiperimeter (poloobvod): s = 29,5

Úhel ∠ A = α = 10,38443665905° = 10°23'4″ = 0,18112413877 rad
Úhel ∠ B = β = 21,1311000091° = 21°7'52″ = 0,36988055258 rad
Úhel ∠ C = γ = 148,48546333185° = 148°29'5″ = 2,592154574 rad

Výška trojúhelníku na stranu a: v_a = 10,45545444664
Výška trojúhelníku na stranu b: v_b = 5,22772722332
Výška trojúhelníku na stranu c: v_c = 3,60550153332

Těžnice: t_a = 24,40328686838
Těžnice: t_b = 19,24883765549
Těžnice: t_c = 6,30547601065

Poloměr vepsané kružnice: r = 1,77219566892
Poloměr opsané kružnice: R = 27,73991330566

Souřadnice vrcholů: A[29; 0] B[0; 0] C[9,32875862069; 3,60550153332]
Těžiště: T[12,7765862069; 1,20216717777]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[14,5; -23,64876109308]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[9,5; 1,77219566892]

Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 169,61656334095° = 169°36'56″ = 0,18112413877 rad
∠ B' = β' = 158,8698999909° = 158°52'8″ = 0,36988055258 rad
∠ C' = γ' = 31,51553666815° = 31°30'55″ = 2,592154574 rad

Vypočítat další trojúhelník

Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?

Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen.

a = 10 b = 20 c = 29

1. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran

o = a + b + c = 10 + 20 + 29 = 59

2. Poloviční obvod trojúhelníku

Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{5 9}{2} = 29, 5

3. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce

Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 29, 5 (29, 5 - 10) (29, 5 - 20) (29, 5 - 29) S = 2732, 44 = 52, 27

4. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.

Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 5 2 , 2 7}{1 0} = 10, 45 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 5 2 , 2 7}{2 0} = 5, 23 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 5 2 , 2 7}{2 9} = 3, 61

5. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty

Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{2 0 ^{2} + 2 9 ^{2} - 1 0 ^{2}}{2 \cdot 2 0 \cdot 2 9}) = 10 ° 2 3^{'} 4 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{1 0 ^{2} + 2 9 ^{2} - 2 0 ^{2}}{2 \cdot 1 0 \cdot 2 9}) = 21 ° 7^{'} 52 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 10 ° 2 3^{'} 4 " - 21 ° 7^{'} 52 " = 148 ° 2 9^{'} 5 "

6. Poloměr vepsané kružnice

Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{5 2 , 2 7}{2 9 , 5} = 1, 77

7. Poloměr opsané kružnice

Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{1 0 \cdot 2 0 \cdot 2 9}{4 \cdot 1 , 7 7 2 \cdot 2 9 , 5} = 27, 74

8. Výpočet těžnic

Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 2 0 ^{2} + 2 \cdot 2 9 ^{2} - 1 0 ^{2}}{2} = 24, 403 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 2 9 ^{2} + 2 \cdot 1 0 ^{2} - 2 0 ^{2}}{2} = 19, 248 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 0 ^{2} + 2 \cdot 2 0 ^{2} - 2 9 ^{2}}{2} = 6, 305

Vypočítat další trojúhelník