Trojúhelník 10 24 25

Ostroúhlý různostranný trojúhelník.

Délky stran trojúhelníku:
a = 10
b = 24
c = 25

Obsah trojúhelníku: S = 119,32107337389
Obvod trojúhelníku: o = 59
Semiperimeter (poloobvod): s = 29,5

Úhel ∠ A = α = 23,43767071991° = 23°26'12″ = 0,40990477064 rad
Úhel ∠ B = β = 72,66224819825° = 72°39'45″ = 1,26881995533 rad
Úhel ∠ C = γ = 83,90108108185° = 83°54'3″ = 1,46443453939 rad

Výška trojúhelníku na stranu a: v_a = 23,86441467478
Výška trojúhelníku na stranu b: v_b = 9,94333944782
Výška trojúhelníku na stranu c: v_c = 9,54656586991

Těžnice: t_a = 23,99895810718
Těžnice: t_b = 14,78217454991
Těžnice: t_c = 13,48114687627

Poloměr vepsané kružnice: r = 4,04547706352
Poloměr opsané kružnice: R = 12,57111597054

Souřadnice vrcholů: A[25; 0] B[0; 0] C[2,98; 9,54656586991]
Těžiště: T[9,32766666667; 3,1821886233]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[12,5; 1,33656857187]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[5,5; 4,04547706352]

Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 156,56332928009° = 156°33'48″ = 0,40990477064 rad
∠ B' = β' = 107,33875180175° = 107°20'15″ = 1,26881995533 rad
∠ C' = γ' = 96,09991891815° = 96°5'57″ = 1,46443453939 rad

Vypočítat další trojúhelník

Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?

Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen.

a = 10 b = 24 c = 25

1. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran

o = a + b + c = 10 + 24 + 25 = 59

2. Poloviční obvod trojúhelníku

Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{5 9}{2} = 29, 5

3. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce

Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 29, 5 (29, 5 - 10) (29, 5 - 24) (29, 5 - 25) S = 14237, 44 = 119, 32

4. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.

Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 1 1 9 , 3 2}{1 0} = 23, 86 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 1 1 9 , 3 2}{2 4} = 9, 94 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 1 1 9 , 3 2}{2 5} = 9, 55

5. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty

Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{2 4 ^{2} + 2 5 ^{2} - 1 0 ^{2}}{2 \cdot 2 4 \cdot 2 5}) = 23 ° 2 6^{'} 12 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{1 0 ^{2} + 2 5 ^{2} - 2 4 ^{2}}{2 \cdot 1 0 \cdot 2 5}) = 72 ° 3 9^{'} 45 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 23 ° 2 6^{'} 12 " - 72 ° 3 9^{'} 45 " = 83 ° 5 4^{'} 3 "

6. Poloměr vepsané kružnice

Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{1 1 9 , 3 2}{2 9 , 5} = 4, 04

7. Poloměr opsané kružnice

Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{1 0 \cdot 2 4 \cdot 2 5}{4 \cdot 4 , 0 4 5 \cdot 2 9 , 5} = 12, 57

8. Výpočet těžnic

Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 2 4 ^{2} + 2 \cdot 2 5 ^{2} - 1 0 ^{2}}{2} = 23, 99 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 2 5 ^{2} + 2 \cdot 1 0 ^{2} - 2 4 ^{2}}{2} = 14, 782 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 0 ^{2} + 2 \cdot 2 4 ^{2} - 2 5 ^{2}}{2} = 13, 481

Vypočítat další trojúhelník