Trojúhelník 10 24 29
Tupouhlý různostranný trojúhelník.
Délky stran trojúhelníku:a = 10
b = 24
c = 29
Obsah trojúhelníku: S = 112,68773440099
Obvod trojúhelníku: o = 63
Semiperimeter (poloobvod): s = 31,5
Úhel ∠ A = α = 18,89437495493° = 18°53'37″ = 0,33297581377 rad
Úhel ∠ B = β = 51,00107406628° = 51°3″ = 0,89901308455 rad
Úhel ∠ C = γ = 110,10655097879° = 110°6'20″ = 1,92217036704 rad
Výška trojúhelníku na stranu a: va = 22,5377468802
Výška trojúhelníku na stranu b: vb = 9,39106120008
Výška trojúhelníku na stranu c: vc = 7,77215409662
Těžnice: ta = 26,14438329248
Těžnice: tb = 18,06993109996
Těžnice: tc = 11,30326545555
Poloměr vepsané kružnice: r = 3,57773760003
Poloměr opsané kružnice: R = 15,44109531548
Souřadnice vrcholů: A[29; 0] B[0; 0] C[6,29331034483; 7,77215409662]
Těžiště: T[11,76443678161; 2,59105136554]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[14,5; -5,3087827647]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[7,5; 3,57773760003]
Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 161,10662504507° = 161°6'22″ = 0,33297581377 rad
∠ B' = β' = 128,99992593372° = 128°59'57″ = 0,89901308455 rad
∠ C' = γ' = 69,89444902121° = 69°53'40″ = 1,92217036704 rad
Vypočítat další trojúhelník
Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?
Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen.
a=10 b=24 c=29
1. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran
o=a+b+c=10+24+29=63
2. Poloviční obvod trojúhelníku
Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.s=2o=263=31,5
3. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce
Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.S=s(s−a)(s−b)(s−c) S=31,5(31,5−10)(31,5−24)(31,5−29) S=12698,44=112,69
4. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.
Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.S=2ava va=a2 S=102⋅ 112,69=22,54 vb=b2 S=242⋅ 112,69=9,39 vc=c2 S=292⋅ 112,69=7,77
5. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty
Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.a2=b2+c2−2bccosα α=arccos(2bcb2+c2−a2)=arccos(2⋅ 24⋅ 29242+292−102)=18°53′37" b2=a2+c2−2accosβ β=arccos(2aca2+c2−b2)=arccos(2⋅ 10⋅ 29102+292−242)=51°3" γ=180°−α−β=180°−18°53′37"−51°3"=110°6′20"
6. Poloměr vepsané kružnice
Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.S=rs r=sS=31,5112,69=3,58
7. Poloměr opsané kružnice
Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.R=4 rsabc=4⋅ 3,577⋅ 31,510⋅ 24⋅ 29=15,44
8. Výpočet těžnic
Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.ta=22b2+2c2−a2=22⋅ 242+2⋅ 292−102=26,144 tb=22c2+2a2−b2=22⋅ 292+2⋅ 102−242=18,069 tc=22a2+2b2−c2=22⋅ 102+2⋅ 242−292=11,303
Vypočítat další trojúhelník