Trojúhelník 10 24 30

Tupouhlý různostranný trojúhelník.

Délky stran trojúhelníku:
a = 10
b = 24
c = 30

Obsah trojúhelníku: S = 106,13219932914
Obvod trojúhelníku: o = 64
Semiperimeter (poloobvod): s = 32

Úhel ∠ A = α = 17,14662099989° = 17°8'46″ = 0,29992578187 rad
Úhel ∠ B = β = 45,03656507165° = 45°2'8″ = 0,78660203858 rad
Úhel ∠ C = γ = 117,81881392847° = 117°49'5″ = 2,05663144491 rad

Výška trojúhelníku na stranu a: v_a = 21,22663986583
Výška trojúhelníku na stranu b: v_b = 8,84443327743
Výška trojúhelníku na stranu c: v_c = 7,07554662194

Těžnice: t_a = 26,70220598456
Těžnice: t_b = 18,86879622641
Těžnice: t_c = 10,63301458127

Poloměr vepsané kružnice: r = 3,31766247904
Poloměr opsané kružnice: R = 16,96600131325

Souřadnice vrcholů: A[30; 0] B[0; 0] C[7,06766666667; 7,07554662194]
Těžiště: T[12,35655555556; 2,35884887398]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[15; -7,91546727952]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[8; 3,31766247904]

Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 162,85437900011° = 162°51'14″ = 0,29992578187 rad
∠ B' = β' = 134,96443492836° = 134°57'52″ = 0,78660203858 rad
∠ C' = γ' = 62,18218607153° = 62°10'55″ = 2,05663144491 rad

Vypočítat další trojúhelník

Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?

Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen.

a = 10 b = 24 c = 30

1. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran

o = a + b + c = 10 + 24 + 30 = 64

2. Poloviční obvod trojúhelníku

Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{6 4}{2} = 32

3. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce

Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 32 (32 - 10) (32 - 24) (32 - 30) S = 11264 = 106, 13

4. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.

Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 1 0 6 , 1 3}{1 0} = 21, 23 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 1 0 6 , 1 3}{2 4} = 8, 84 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 1 0 6 , 1 3}{3 0} = 7, 08

5. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty

Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{2 4 ^{2} + 3 0 ^{2} - 1 0 ^{2}}{2 \cdot 2 4 \cdot 3 0}) = 17 ° 8^{'} 46 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{1 0 ^{2} + 3 0 ^{2} - 2 4 ^{2}}{2 \cdot 1 0 \cdot 3 0}) = 45 ° 2^{'} 8 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 17 ° 8^{'} 46 " - 45 ° 2^{'} 8 " = 117 ° 4 9^{'} 5 "

6. Poloměr vepsané kružnice

Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{1 0 6 , 1 3}{3 2} = 3, 32

7. Poloměr opsané kružnice

Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{1 0 \cdot 2 4 \cdot 3 0}{4 \cdot 3 , 3 1 7 \cdot 3 2} = 16, 96

8. Výpočet těžnic

Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 2 4 ^{2} + 2 \cdot 3 0 ^{2} - 1 0 ^{2}}{2} = 26, 702 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 3 0 ^{2} + 2 \cdot 1 0 ^{2} - 2 4 ^{2}}{2} = 18, 868 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 0 ^{2} + 2 \cdot 2 4 ^{2} - 3 0 ^{2}}{2} = 10, 63

Vypočítat další trojúhelník