Trojúhelník 11 11 12

Ostroúhlý rovnoramenný trojúhelník.

Délky stran trojúhelníku:
a = 11
b = 11
c = 12

Obsah trojúhelníku: S = 55,31772667438
Obvod trojúhelníku: o = 34
Semiperimeter (poloobvod): s = 17

Úhel ∠ A = α = 56,94442688491° = 56°56'39″ = 0,99438649816 rad
Úhel ∠ B = β = 56,94442688491° = 56°56'39″ = 0,99438649816 rad
Úhel ∠ C = γ = 66,11114623017° = 66°6'41″ = 1,15438626905 rad

Výška trojúhelníku na stranu a: v_a = 10,05876848625
Výška trojúhelníku na stranu b: v_b = 10,05876848625
Výška trojúhelníku na stranu c: v_c = 9,22195444573

Těžnice: t_a = 10,11218742081
Těžnice: t_b = 10,11218742081
Těžnice: t_c = 9,22195444573

Poloměr vepsané kružnice: r = 3,25439568673
Poloměr opsané kružnice: R = 6,5622146349

Souřadnice vrcholů: A[12; 0] B[0; 0] C[6; 9,22195444573]
Těžiště: T[6; 3,07331814858]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[6; 2,65773981083]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[6; 3,25439568673]

Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 123,05657311509° = 123°3'21″ = 0,99438649816 rad
∠ B' = β' = 123,05657311509° = 123°3'21″ = 0,99438649816 rad
∠ C' = γ' = 113,88985376983° = 113°53'19″ = 1,15438626905 rad

Vypočítat další trojúhelník

Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?

Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen.

a = 11 b = 11 c = 12

1. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran

o = a + b + c = 11 + 11 + 12 = 34

2. Poloviční obvod trojúhelníku

Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{3 4}{2} = 17

3. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce

Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 17 (17 - 11) (17 - 11) (17 - 12) S = 3060 = 55, 32

4. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.

Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 5 5 , 3 2}{1 1} = 10, 06 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 5 5 , 3 2}{1 1} = 10, 06 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 5 5 , 3 2}{1 2} = 9, 22

5. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty

Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{1 1 ^{2} + 1 2 ^{2} - 1 1 ^{2}}{2 \cdot 1 1 \cdot 1 2}) = 56 ° 5 6^{'} 39 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{1 1 ^{2} + 1 2 ^{2} - 1 1 ^{2}}{2 \cdot 1 1 \cdot 1 2}) = 56 ° 5 6^{'} 39 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 56 ° 5 6^{'} 39 " - 56 ° 5 6^{'} 39 " = 66 ° 6^{'} 41 "

6. Poloměr vepsané kružnice

Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{5 5 , 3 2}{1 7} = 3, 25

7. Poloměr opsané kružnice

Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{1 1 \cdot 1 1 \cdot 1 2}{4 \cdot 3 , 2 5 4 \cdot 1 7} = 6, 56

8. Výpočet těžnic

Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 1 ^{2} + 2 \cdot 1 2 ^{2} - 1 1 ^{2}}{2} = 10, 112 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 2 ^{2} + 2 \cdot 1 1 ^{2} - 1 1 ^{2}}{2} = 10, 112 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 1 ^{2} + 2 \cdot 1 1 ^{2} - 1 2 ^{2}}{2} = 9, 22

Vypočítat další trojúhelník