Trojúhelník 11 11 15
Ostroúhlý rovnoramenný trojúhelník.
Délky stran trojúhelníku:a = 11
b = 11
c = 15
Obsah trojúhelníku: S = 60,35105385229
Obvod trojúhelníku: o = 37
Semiperimeter (poloobvod): s = 18,5
Úhel ∠ A = α = 47,01441139198° = 47°51″ = 0,82105510828 rad
Úhel ∠ B = β = 47,01441139198° = 47°51″ = 0,82105510828 rad
Úhel ∠ C = γ = 85,97217721604° = 85°58'18″ = 1.5500490488 rad
Výška trojúhelníku na stranu a: va = 10,9732825186
Výška trojúhelníku na stranu b: vb = 10,9732825186
Výška trojúhelníku na stranu c: vc = 8,04767384697
Těžnice: ta = 11,94878031453
Těžnice: tb = 11,94878031453
Těžnice: tc = 8,04767384697
Poloměr vepsané kružnice: r = 3,26221912715
Poloměr opsané kružnice: R = 7,51985741686
Souřadnice vrcholů: A[15; 0] B[0; 0] C[7,5; 8,04767384697]
Těžiště: T[7,5; 2,68222461566]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[7,5; 0,52881643011]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[7,5; 3,26221912715]
Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 132,98658860802° = 132°59'9″ = 0,82105510828 rad
∠ B' = β' = 132,98658860802° = 132°59'9″ = 0,82105510828 rad
∠ C' = γ' = 94,02882278396° = 94°1'42″ = 1.5500490488 rad
Vypočítat další trojúhelník
Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?
Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen.
a=11 b=11 c=15
1. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran
o=a+b+c=11+11+15=37
2. Poloviční obvod trojúhelníku
Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.s=2o=237=18,5
3. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce
Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.S=s(s−a)(s−b)(s−c) S=18,5(18,5−11)(18,5−11)(18,5−15) S=3642,19=60,35
4. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.
Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.S=2ava va=a2 S=112⋅ 60,35=10,97 vb=b2 S=112⋅ 60,35=10,97 vc=c2 S=152⋅ 60,35=8,05
5. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty
Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.a2=b2+c2−2bccosα α=arccos(2bcb2+c2−a2)=arccos(2⋅ 11⋅ 15112+152−112)=47°51" b2=a2+c2−2accosβ β=arccos(2aca2+c2−b2)=arccos(2⋅ 11⋅ 15112+152−112)=47°51" γ=180°−α−β=180°−47°51"−47°51"=85°58′18"
6. Poloměr vepsané kružnice
Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.S=rs r=sS=18,560,35=3,26
7. Poloměr opsané kružnice
Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.R=4 rsabc=4⋅ 3,262⋅ 18,511⋅ 11⋅ 15=7,52
8. Výpočet těžnic
Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.ta=22b2+2c2−a2=22⋅ 112+2⋅ 152−112=11,948 tb=22c2+2a2−b2=22⋅ 152+2⋅ 112−112=11,948 tc=22a2+2b2−c2=22⋅ 112+2⋅ 112−152=8,047
Vypočítat další trojúhelník