Trojúhelník 11 11 20
Tupouhlý rovnoramenný trojúhelník.
Délky stran trojúhelníku:a = 11
b = 11
c = 20
Obsah trojúhelníku: S = 45,82657569496
Obvod trojúhelníku: o = 42
Semiperimeter (poloobvod): s = 21
Úhel ∠ A = α = 24,62199773287° = 24°37'12″ = 0,43296996662 rad
Úhel ∠ B = β = 24,62199773287° = 24°37'12″ = 0,43296996662 rad
Úhel ∠ C = γ = 130,76600453427° = 130°45'36″ = 2,28221933213 rad
Výška trojúhelníku na stranu a: va = 8,3321955809
Výška trojúhelníku na stranu b: vb = 8,3321955809
Výška trojúhelníku na stranu c: vc = 4,5832575695
Těžnice: ta = 15,17439909055
Těžnice: tb = 15,17439909055
Těžnice: tc = 4,5832575695
Poloměr vepsané kružnice: r = 2,18221789024
Poloměr opsané kružnice: R = 13,20221823593
Souřadnice vrcholů: A[20; 0] B[0; 0] C[10; 4,5832575695]
Těžiště: T[10; 1,52875252317]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[10; -8,62196066643]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[10; 2,18221789024]
Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 155,38800226713° = 155°22'48″ = 0,43296996662 rad
∠ B' = β' = 155,38800226713° = 155°22'48″ = 0,43296996662 rad
∠ C' = γ' = 49,24399546573° = 49°14'24″ = 2,28221933213 rad
Vypočítat další trojúhelník
Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?
Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen.
a=11 b=11 c=20
1. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran
o=a+b+c=11+11+20=42
2. Poloviční obvod trojúhelníku
Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.s=2o=242=21
3. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce
Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.S=s(s−a)(s−b)(s−c) S=21(21−11)(21−11)(21−20) S=2100=45,83
4. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.
Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.S=2ava va=a2 S=112⋅ 45,83=8,33 vb=b2 S=112⋅ 45,83=8,33 vc=c2 S=202⋅ 45,83=4,58
5. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty
Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.a2=b2+c2−2bccosα α=arccos(2bcb2+c2−a2)=arccos(2⋅ 11⋅ 20112+202−112)=24°37′12" b2=a2+c2−2accosβ β=arccos(2aca2+c2−b2)=arccos(2⋅ 11⋅ 20112+202−112)=24°37′12" γ=180°−α−β=180°−24°37′12"−24°37′12"=130°45′36"
6. Poloměr vepsané kružnice
Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.S=rs r=sS=2145,83=2,18
7. Poloměr opsané kružnice
Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.R=4 rsabc=4⋅ 2,182⋅ 2111⋅ 11⋅ 20=13,2
8. Výpočet těžnic
Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.ta=22b2+2c2−a2=22⋅ 112+2⋅ 202−112=15,174 tb=22c2+2a2−b2=22⋅ 202+2⋅ 112−112=15,174 tc=22a2+2b2−c2=22⋅ 112+2⋅ 112−202=4,583
Vypočítat další trojúhelník