Trojúhelník 11 12 12
Ostroúhlý rovnoramenný trojúhelník.
Délky stran trojúhelníku:a = 11
b = 12
c = 12
Obsah trojúhelníku: S = 58,66595047712
Obvod trojúhelníku: o = 35
Semiperimeter (poloobvod): s = 17,5
Úhel ∠ A = α = 54,5599225472° = 54°33'33″ = 0,95222381218 rad
Úhel ∠ B = β = 62,7220387264° = 62°43'13″ = 1,09546772659 rad
Úhel ∠ C = γ = 62,7220387264° = 62°43'13″ = 1,09546772659 rad
Výška trojúhelníku na stranu a: va = 10,66553645039
Výška trojúhelníku na stranu b: vb = 9,77765841285
Výška trojúhelníku na stranu c: vc = 9,77765841285
Těžnice: ta = 10,66553645039
Těžnice: tb = 9,82334413522
Těžnice: tc = 9,82334413522
Poloměr vepsané kružnice: r = 3,35219717012
Poloměr opsané kružnice: R = 6,75108241255
Souřadnice vrcholů: A[12; 0] B[0; 0] C[5,04216666667; 9,77765841285]
Těžiště: T[5,68105555556; 3,25988613762]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[6; 3,09441277242]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[5,5; 3,35219717012]
Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 125,4410774528° = 125°26'27″ = 0,95222381218 rad
∠ B' = β' = 117,2879612736° = 117°16'47″ = 1,09546772659 rad
∠ C' = γ' = 117,2879612736° = 117°16'47″ = 1,09546772659 rad
Vypočítat další trojúhelník
Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?
Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen.
a=11 b=12 c=12
1. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran
o=a+b+c=11+12+12=35
2. Poloviční obvod trojúhelníku
Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.s=2o=235=17,5
3. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce
Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.S=s(s−a)(s−b)(s−c) S=17,5(17,5−11)(17,5−12)(17,5−12) S=3440,94=58,66
4. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.
Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.S=2ava va=a2 S=112⋅ 58,66=10,67 vb=b2 S=122⋅ 58,66=9,78 vc=c2 S=122⋅ 58,66=9,78
5. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty
Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.a2=b2+c2−2bccosα α=arccos(2bcb2+c2−a2)=arccos(2⋅ 12⋅ 12122+122−112)=54°33′33" b2=a2+c2−2accosβ β=arccos(2aca2+c2−b2)=arccos(2⋅ 11⋅ 12112+122−122)=62°43′13" γ=180°−α−β=180°−54°33′33"−62°43′13"=62°43′13"
6. Poloměr vepsané kružnice
Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.S=rs r=sS=17,558,66=3,35
7. Poloměr opsané kružnice
Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.R=4 rsabc=4⋅ 3,352⋅ 17,511⋅ 12⋅ 12=6,75
8. Výpočet těžnic
Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.ta=22b2+2c2−a2=22⋅ 122+2⋅ 122−112=10,665 tb=22c2+2a2−b2=22⋅ 122+2⋅ 112−122=9,823 tc=22a2+2b2−c2=22⋅ 112+2⋅ 122−122=9,823
Vypočítat další trojúhelník