Trojúhelník 11 12 13

Ostroúhlý různostranný trojúhelník.

Délky stran trojúhelníku:
a = 11
b = 12
c = 13

Obsah trojúhelníku: S = 61,48217045958
Obvod trojúhelníku: o = 36
Semiperimeter (poloobvod): s = 18

Úhel ∠ A = α = 52,02201275551° = 52°1'12″ = 0,90879225031 rad
Úhel ∠ B = β = 59,30435587084° = 59°18'13″ = 1,03550423576 rad
Úhel ∠ C = γ = 68,67663137365° = 68°40'35″ = 1,19986277928 rad

Výška trojúhelníku na stranu a: v_a = 11,17884917447
Výška trojúhelníku na stranu b: v_b = 10,2476950766
Výška trojúhelníku na stranu c: v_c = 9,4598723784

Těžnice: t_a = 11,23661025271
Těžnice: t_b = 10,44403065089
Těžnice: t_c = 9,5

Poloměr vepsané kružnice: r = 3,41656502553
Poloměr opsané kružnice: R = 6,97876855216

Souřadnice vrcholů: A[13; 0] B[0; 0] C[5,61553846154; 9,4598723784]
Těžiště: T[6,20551282051; 3,1532907928]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[6,5; 2,53773401897]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[6; 3,41656502553]

Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 127,98798724449° = 127°58'48″ = 0,90879225031 rad
∠ B' = β' = 120,69664412917° = 120°41'47″ = 1,03550423576 rad
∠ C' = γ' = 111,32436862635° = 111°19'25″ = 1,19986277928 rad

Vypočítat další trojúhelník

Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?

Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen.

a = 11 b = 12 c = 13

1. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran

o = a + b + c = 11 + 12 + 13 = 36

2. Poloviční obvod trojúhelníku

Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{3 6}{2} = 18

3. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce

Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 18 (18 - 11) (18 - 12) (18 - 13) S = 3780 = 61, 48

4. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.

Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 6 1 , 4 8}{1 1} = 11, 18 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 6 1 , 4 8}{1 2} = 10, 25 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 6 1 , 4 8}{1 3} = 9, 46

5. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty

Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{1 2 ^{2} + 1 3 ^{2} - 1 1 ^{2}}{2 \cdot 1 2 \cdot 1 3}) = 52 ° 1^{'} 12 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{1 1 ^{2} + 1 3 ^{2} - 1 2 ^{2}}{2 \cdot 1 1 \cdot 1 3}) = 59 ° 1 8^{'} 13 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 52 ° 1^{'} 12 " - 59 ° 1 8^{'} 13 " = 68 ° 4 0^{'} 35 "

6. Poloměr vepsané kružnice

Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{6 1 , 4 8}{1 8} = 3, 42

7. Poloměr opsané kružnice

Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{1 1 \cdot 1 2 \cdot 1 3}{4 \cdot 3 , 4 1 6 \cdot 1 8} = 6, 98

8. Výpočet těžnic

Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 2 ^{2} + 2 \cdot 1 3 ^{2} - 1 1 ^{2}}{2} = 11, 236 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 3 ^{2} + 2 \cdot 1 1 ^{2} - 1 2 ^{2}}{2} = 10, 44 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 1 ^{2} + 2 \cdot 1 2 ^{2} - 1 3 ^{2}}{2} = 9, 5

Vypočítat další trojúhelník