Trojúhelník 11 12 17
Tupouhlý různostranný trojúhelník.
Délky stran trojúhelníku:a = 11
b = 12
c = 17
Obsah trojúhelníku: S = 65,72767069006
Obvod trojúhelníku: o = 40
Semiperimeter (poloobvod): s = 20
Úhel ∠ A = α = 40,11991668984° = 40°7'9″ = 0.77002115555 rad
Úhel ∠ B = β = 44,66549245311° = 44°39'54″ = 0,78795499932 rad
Úhel ∠ C = γ = 95,21659085705° = 95°12'57″ = 1,66218311048 rad
Výška trojúhelníku na stranu a: va = 11,95503103456
Výška trojúhelníku na stranu b: vb = 10,95444511501
Výška trojúhelníku na stranu c: vc = 7,7332553753
Těžnice: ta = 13,6477344064
Těžnice: tb = 13
Těžnice: tc = 7,76220873481
Poloměr vepsané kružnice: r = 3,2866335345
Poloměr opsané kružnice: R = 8,53553431878
Souřadnice vrcholů: A[17; 0] B[0; 0] C[7,82435294118; 7,7332553753]
Těžiště: T[8,27545098039; 2,57875179177]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[8,5; -0,77659402898]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[8; 3,2866335345]
Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 139,88108331016° = 139°52'51″ = 0.77002115555 rad
∠ B' = β' = 135,33550754689° = 135°20'6″ = 0,78795499932 rad
∠ C' = γ' = 84,78440914295° = 84°47'3″ = 1,66218311048 rad
Vypočítat další trojúhelník
Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?
Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen.
a=11 b=12 c=17
1. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran
o=a+b+c=11+12+17=40
2. Poloviční obvod trojúhelníku
Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.s=2o=240=20
3. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce
Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.S=s(s−a)(s−b)(s−c) S=20(20−11)(20−12)(20−17) S=4320=65,73
4. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.
Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.S=2ava va=a2 S=112⋅ 65,73=11,95 vb=b2 S=122⋅ 65,73=10,95 vc=c2 S=172⋅ 65,73=7,73
5. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty
Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.a2=b2+c2−2bccosα α=arccos(2bcb2+c2−a2)=arccos(2⋅ 12⋅ 17122+172−112)=40°7′9" b2=a2+c2−2accosβ β=arccos(2aca2+c2−b2)=arccos(2⋅ 11⋅ 17112+172−122)=44°39′54" γ=180°−α−β=180°−40°7′9"−44°39′54"=95°12′57"
6. Poloměr vepsané kružnice
Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.S=rs r=sS=2065,73=3,29
7. Poloměr opsané kružnice
Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.R=4 rsabc=4⋅ 3,286⋅ 2011⋅ 12⋅ 17=8,54
8. Výpočet těžnic
Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.ta=22b2+2c2−a2=22⋅ 122+2⋅ 172−112=13,647 tb=22c2+2a2−b2=22⋅ 172+2⋅ 112−122=13 tc=22a2+2b2−c2=22⋅ 112+2⋅ 122−172=7,762
Vypočítat další trojúhelník