Trojúhelník 11 13 16

Ostroúhlý různostranný trojúhelník.

Délky stran trojúhelníku:
a = 11
b = 13
c = 16

Obsah trojúhelníku: S = 70,99329573972
Obvod trojúhelníku: o = 40
Semiperimeter (poloobvod): s = 20

Úhel ∠ A = α = 43,04990798002° = 43°2'57″ = 0,75113481825 rad
Úhel ∠ B = β = 53,77884533802° = 53°46'42″ = 0,93986110781 rad
Úhel ∠ C = γ = 83,17224668196° = 83°10'21″ = 1,4521633393 rad

Výška trojúhelníku na stranu a: v_a = 12,90878104359
Výška trojúhelníku na stranu b: v_b = 10,92219934457
Výška trojúhelníku na stranu c: v_c = 8,87441196746

Těžnice: t_a = 13,5
Těžnice: t_b = 12,09333866224
Těžnice: t_c = 9

Poloměr vepsané kružnice: r = 3,55496478699
Poloměr opsané kružnice: R = 8,05771372284

Souřadnice vrcholů: A[16; 0] B[0; 0] C[6,5; 8,87441196746]
Těžiště: T[7,5; 2,95880398915]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[8; 0,95878414887]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[7; 3,55496478699]

Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 136,95109201998° = 136°57'3″ = 0,75113481825 rad
∠ B' = β' = 126,22215466198° = 126°13'18″ = 0,93986110781 rad
∠ C' = γ' = 96,82875331804° = 96°49'39″ = 1,4521633393 rad

Vypočítat další trojúhelník

Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?

Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen.

a = 11 b = 13 c = 16

1. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran

o = a + b + c = 11 + 13 + 16 = 40

2. Poloviční obvod trojúhelníku

Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{4 0}{2} = 20

3. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce

Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 20 (20 - 11) (20 - 13) (20 - 16) S = 5040 = 70, 99

4. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.

Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 7 0 , 9 9}{1 1} = 12, 91 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 7 0 , 9 9}{1 3} = 10, 92 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 7 0 , 9 9}{1 6} = 8, 87

5. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty

Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{1 3 ^{2} + 1 6 ^{2} - 1 1 ^{2}}{2 \cdot 1 3 \cdot 1 6}) = 43 ° 2^{'} 57 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{1 1 ^{2} + 1 6 ^{2} - 1 3 ^{2}}{2 \cdot 1 1 \cdot 1 6}) = 53 ° 4 6^{'} 42 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 43 ° 2^{'} 57 " - 53 ° 4 6^{'} 42 " = 83 ° 1 0^{'} 21 "

6. Poloměr vepsané kružnice

Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{7 0 , 9 9}{2 0} = 3, 55

7. Poloměr opsané kružnice

Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{1 1 \cdot 1 3 \cdot 1 6}{4 \cdot 3 , 5 5 \cdot 2 0} = 8, 06

8. Výpočet těžnic

Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 3 ^{2} + 2 \cdot 1 6 ^{2} - 1 1 ^{2}}{2} = 13, 5 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 6 ^{2} + 2 \cdot 1 1 ^{2} - 1 3 ^{2}}{2} = 12, 093 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 1 ^{2} + 2 \cdot 1 3 ^{2} - 1 6 ^{2}}{2} = 9

Vypočítat další trojúhelník