Trojúhelník 11 13 19

Tupouhlý různostranný trojúhelník.

Délky stran trojúhelníku:
a = 11
b = 13
c = 19

Obsah trojúhelníku: S = 69,26217318582
Obvod trojúhelníku: o = 43
Semiperimeter (poloobvod): s = 21,5

Úhel ∠ A = α = 34,11327839945° = 34°6'46″ = 0,59553803977 rad
Úhel ∠ B = β = 41,51331322663° = 41°30'47″ = 0,72545408409 rad
Úhel ∠ C = γ = 104,37440837392° = 104°22'27″ = 1,8221671415 rad

Výška trojúhelníku na stranu a: v_a = 12,5933042156
Výška trojúhelníku na stranu b: v_b = 10,65656510551
Výška trojúhelníku na stranu c: v_c = 7,29107086167

Těžnice: t_a = 15,3221553446
Těžnice: t_b = 14,09878721799
Těžnice: t_c = 7,39993242935

Poloměr vepsané kružnice: r = 3,22114759004
Poloměr opsané kružnice: R = 9,8077002825

Souřadnice vrcholů: A[19; 0] B[0; 0] C[8,23768421053; 7,29107086167]
Těžiště: T[9,07989473684; 2,43302362056]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[9,5; -2,43546055964]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[8,5; 3,22114759004]

Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 145,88772160055° = 145°53'14″ = 0,59553803977 rad
∠ B' = β' = 138,48768677337° = 138°29'13″ = 0,72545408409 rad
∠ C' = γ' = 75,62659162608° = 75°37'33″ = 1,8221671415 rad

Vypočítat další trojúhelník

Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?

Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen.

a = 11 b = 13 c = 19

1. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran

o = a + b + c = 11 + 13 + 19 = 43

2. Poloviční obvod trojúhelníku

Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{4 3}{2} = 21, 5

3. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce

Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 21, 5 (21, 5 - 11) (21, 5 - 13) (21, 5 - 19) S = 4797, 19 = 69, 26

4. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.

Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 6 9 , 2 6}{1 1} = 12, 59 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 6 9 , 2 6}{1 3} = 10, 66 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 6 9 , 2 6}{1 9} = 7, 29

5. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty

Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{1 3 ^{2} + 1 9 ^{2} - 1 1 ^{2}}{2 \cdot 1 3 \cdot 1 9}) = 34 ° 6^{'} 46 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{1 1 ^{2} + 1 9 ^{2} - 1 3 ^{2}}{2 \cdot 1 1 \cdot 1 9}) = 41 ° 3 0^{'} 47 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 34 ° 6^{'} 46 " - 41 ° 3 0^{'} 47 " = 104 ° 2 2^{'} 27 "

6. Poloměr vepsané kružnice

Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{6 9 , 2 6}{2 1 , 5} = 3, 22

7. Poloměr opsané kružnice

Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{1 1 \cdot 1 3 \cdot 1 9}{4 \cdot 3 , 2 2 1 \cdot 2 1 , 5} = 9, 81

8. Výpočet těžnic

Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 3 ^{2} + 2 \cdot 1 9 ^{2} - 1 1 ^{2}}{2} = 15, 322 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 9 ^{2} + 2 \cdot 1 1 ^{2} - 1 3 ^{2}}{2} = 14, 098 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 1 ^{2} + 2 \cdot 1 3 ^{2} - 1 9 ^{2}}{2} = 7, 399

Vypočítat další trojúhelník