Trojúhelník 11 13 22

Tupouhlý různostranný trojúhelník.

Délky stran trojúhelníku:
a = 11
b = 13
c = 22

Obsah trojúhelníku: S = 52,53657021463
Obvod trojúhelníku: o = 46
Semiperimeter (poloobvod): s = 23

Úhel ∠ A = α = 21,55442815764° = 21°33'15″ = 0,37661931814 rad
Úhel ∠ B = β = 25,73330865544° = 25°43'59″ = 0,44991270871 rad
Úhel ∠ C = γ = 132,71326318692° = 132°42'45″ = 2,31662723851 rad

Výška trojúhelníku na stranu a: v_a = 9,55219458448
Výška trojúhelníku na stranu b: v_b = 8,08224157148
Výška trojúhelníku na stranu c: v_c = 4,77659729224

Těžnice: t_a = 17,21219144781
Těžnice: t_b = 16,13222658049
Těžnice: t_c = 4,89989794856

Poloměr vepsané kružnice: r = 2,28441609629
Poloměr opsané kružnice: R = 14,97107716442

Souřadnice vrcholů: A[22; 0] B[0; 0] C[9,90990909091; 4,77659729224]
Těžiště: T[10,63663636364; 1,59219909741]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[11; -10,15549989475]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[10; 2,28441609629]

Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 158,44657184236° = 158°26'45″ = 0,37661931814 rad
∠ B' = β' = 154,26769134456° = 154°16'1″ = 0,44991270871 rad
∠ C' = γ' = 47,28773681308° = 47°17'15″ = 2,31662723851 rad

Vypočítat další trojúhelník

Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?

Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen.

a = 11 b = 13 c = 22

1. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran

o = a + b + c = 11 + 13 + 22 = 46

2. Poloviční obvod trojúhelníku

Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{4 6}{2} = 23

3. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce

Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 23 (23 - 11) (23 - 13) (23 - 22) S = 2760 = 52, 54

4. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.

Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 5 2 , 5 4}{1 1} = 9, 55 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 5 2 , 5 4}{1 3} = 8, 08 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 5 2 , 5 4}{2 2} = 4, 78

5. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty

Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{1 3 ^{2} + 2 2 ^{2} - 1 1 ^{2}}{2 \cdot 1 3 \cdot 2 2}) = 21 ° 3 3^{'} 15 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{1 1 ^{2} + 2 2 ^{2} - 1 3 ^{2}}{2 \cdot 1 1 \cdot 2 2}) = 25 ° 4 3^{'} 59 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 21 ° 3 3^{'} 15 " - 25 ° 4 3^{'} 59 " = 132 ° 4 2^{'} 45 "

6. Poloměr vepsané kružnice

Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{5 2 , 5 4}{2 3} = 2, 28

7. Poloměr opsané kružnice

Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{1 1 \cdot 1 3 \cdot 2 2}{4 \cdot 2 , 2 8 4 \cdot 2 3} = 14, 97

8. Výpočet těžnic

Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 3 ^{2} + 2 \cdot 2 2 ^{2} - 1 1 ^{2}}{2} = 17, 212 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 2 2 ^{2} + 2 \cdot 1 1 ^{2} - 1 3 ^{2}}{2} = 16, 132 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 1 ^{2} + 2 \cdot 1 3 ^{2} - 2 2 ^{2}}{2} = 4, 899

Vypočítat další trojúhelník