Trojúhelník 11 14 15
Ostroúhlý různostranný trojúhelník.
Délky stran trojúhelníku:a = 11
b = 14
c = 15
Obsah trojúhelníku: S = 73,48546922835
Obvod trojúhelníku: o = 40
Semiperimeter (poloobvod): s = 20
Úhel ∠ A = α = 44,41553085972° = 44°24'55″ = 0,77551933733 rad
Úhel ∠ B = β = 62,96443082106° = 62°57'52″ = 1,09989344895 rad
Úhel ∠ C = γ = 72,62203831922° = 72°37'13″ = 1,26774647908 rad
Výška trojúhelníku na stranu a: va = 13,36108531425
Výška trojúhelníku na stranu b: vb = 10,49878131834
Výška trojúhelníku na stranu c: vc = 9,79879589711
Těžnice: ta = 13,42657215821
Těžnice: tb = 11,13655287257
Těžnice: tc = 10,11218742081
Poloměr vepsané kružnice: r = 3,67442346142
Poloměr opsané kružnice: R = 7,85987795914
Souřadnice vrcholů: A[15; 0] B[0; 0] C[5; 9,79879589711]
Těžiště: T[6,66766666667; 3,26659863237]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[7,5; 2,34774276702]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[6; 3,67442346142]
Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 135,58546914028° = 135°35'5″ = 0,77551933733 rad
∠ B' = β' = 117,03656917894° = 117°2'8″ = 1,09989344895 rad
∠ C' = γ' = 107,38796168078° = 107°22'47″ = 1,26774647908 rad
Vypočítat další trojúhelník
Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?
Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen.
a=11 b=14 c=15
1. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran
o=a+b+c=11+14+15=40
2. Poloviční obvod trojúhelníku
Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.s=2o=240=20
3. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce
Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.S=s(s−a)(s−b)(s−c) S=20(20−11)(20−14)(20−15) S=5400=73,48
4. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.
Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.S=2ava va=a2 S=112⋅ 73,48=13,36 vb=b2 S=142⋅ 73,48=10,5 vc=c2 S=152⋅ 73,48=9,8
5. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty
Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.a2=b2+c2−2bccosα α=arccos(2bcb2+c2−a2)=arccos(2⋅ 14⋅ 15142+152−112)=44°24′55" b2=a2+c2−2accosβ β=arccos(2aca2+c2−b2)=arccos(2⋅ 11⋅ 15112+152−142)=62°57′52" γ=180°−α−β=180°−44°24′55"−62°57′52"=72°37′13"
6. Poloměr vepsané kružnice
Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.S=rs r=sS=2073,48=3,67
7. Poloměr opsané kružnice
Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.R=4 rsabc=4⋅ 3,674⋅ 2011⋅ 14⋅ 15=7,86
8. Výpočet těžnic
Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.ta=22b2+2c2−a2=22⋅ 142+2⋅ 152−112=13,426 tb=22c2+2a2−b2=22⋅ 152+2⋅ 112−142=11,136 tc=22a2+2b2−c2=22⋅ 112+2⋅ 142−152=10,112
Vypočítat další trojúhelník