Trojúhelník 11 14 18

Tupouhlý různostranný trojúhelník.

Délky stran trojúhelníku:
a = 11
b = 14
c = 18

Obsah trojúhelníku: S = 76,98801110677
Obvod trojúhelníku: o = 43
Semiperimeter (poloobvod): s = 21,5

Úhel ∠ A = α = 37,65884620062° = 37°39'30″ = 0,65772641532 rad
Úhel ∠ B = β = 51,03992490586° = 51°2'21″ = 0,89108029438 rad
Úhel ∠ C = γ = 91,30222889352° = 91°18'8″ = 1,59435255565 rad

Výška trojúhelníku na stranu a: v_a = 13,99663838305
Výška trojúhelníku na stranu b: v_b = 10,9977158724
Výška trojúhelníku na stranu c: v_c = 8,55333456742

Těžnice: t_a = 15,15875063912
Těžnice: t_b = 13,17219398723
Těžnice: t_c = 8,80334084308

Poloměr vepsané kružnice: r = 3,58804702822
Poloměr opsané kružnice: R = 9,0022325281

Souřadnice vrcholů: A[18; 0] B[0; 0] C[6,91766666667; 8,55333456742]
Těžiště: T[8,30655555556; 2,85111152247]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[9; -0,20545983018]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[7,5; 3,58804702822]

Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 142,34215379938° = 142°20'30″ = 0,65772641532 rad
∠ B' = β' = 128,96107509414° = 128°57'39″ = 0,89108029438 rad
∠ C' = γ' = 88,69877110648° = 88°41'52″ = 1,59435255565 rad

Vypočítat další trojúhelník

Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?

Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen.

a = 11 b = 14 c = 18

1. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran

o = a + b + c = 11 + 14 + 18 = 43

2. Poloviční obvod trojúhelníku

Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{4 3}{2} = 21, 5

3. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce

Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 21, 5 (21, 5 - 11) (21, 5 - 14) (21, 5 - 18) S = 5925, 94 = 76, 98

4. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.

Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 7 6 , 9 8}{1 1} = 14 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 7 6 , 9 8}{1 4} = 11 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 7 6 , 9 8}{1 8} = 8, 55

5. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty

Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{1 4 ^{2} + 1 8 ^{2} - 1 1 ^{2}}{2 \cdot 1 4 \cdot 1 8}) = 37 ° 3 9^{'} 30 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{1 1 ^{2} + 1 8 ^{2} - 1 4 ^{2}}{2 \cdot 1 1 \cdot 1 8}) = 51 ° 2^{'} 21 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 37 ° 3 9^{'} 30 " - 51 ° 2^{'} 21 " = 91 ° 1 8^{'} 8 "

6. Poloměr vepsané kružnice

Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{7 6 , 9 8}{2 1 , 5} = 3, 58

7. Poloměr opsané kružnice

Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{1 1 \cdot 1 4 \cdot 1 8}{4 \cdot 3 , 5 8 \cdot 2 1 , 5} = 9

8. Výpočet těžnic

Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 4 ^{2} + 2 \cdot 1 8 ^{2} - 1 1 ^{2}}{2} = 15, 158 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 8 ^{2} + 2 \cdot 1 1 ^{2} - 1 4 ^{2}}{2} = 13, 172 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 1 ^{2} + 2 \cdot 1 4 ^{2} - 1 8 ^{2}}{2} = 8, 803

Vypočítat další trojúhelník