Trojúhelník 11 15 23

Tupouhlý různostranný trojúhelník.

Délky stran trojúhelníku:
a = 11
b = 15
c = 23

Obsah trojúhelníku: S = 68,65326583608
Obvod trojúhelníku: o = 49
Semiperimeter (poloobvod): s = 24,5

Úhel ∠ A = α = 23,45223604058° = 23°27'8″ = 0,40993209064 rad
Úhel ∠ B = β = 32,8688227068° = 32°52'6″ = 0,57436587816 rad
Úhel ∠ C = γ = 123,67994125263° = 123°40'46″ = 2,15986129655 rad

Výška trojúhelníku na stranu a: v_a = 12,48223015201
Výška trojúhelníku na stranu b: v_b = 9,15436877814
Výška trojúhelníku na stranu c: v_c = 5,97697963792

Těžnice: t_a = 18,62112244495
Těžnice: t_b = 16,39435963108
Těžnice: t_c = 6,38435726674

Poloměr vepsané kružnice: r = 2,80221493208
Poloměr opsané kružnice: R = 13,8219566826

Souřadnice vrcholů: A[23; 0] B[0; 0] C[9,23991304348; 5,97697963792]
Těžiště: T[10,74663768116; 1,99899321264]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[11,5; -7,66435779672]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[9,5; 2,80221493208]

Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 156,54876395942° = 156°32'52″ = 0,40993209064 rad
∠ B' = β' = 147,1321772932° = 147°7'54″ = 0,57436587816 rad
∠ C' = γ' = 56,32105874737° = 56°19'14″ = 2,15986129655 rad

Vypočítat další trojúhelník

Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?

Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen.

a = 11 b = 15 c = 23

1. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran

o = a + b + c = 11 + 15 + 23 = 49

2. Poloviční obvod trojúhelníku

Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{4 9}{2} = 24, 5

3. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce

Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 24, 5 (24, 5 - 11) (24, 5 - 15) (24, 5 - 23) S = 4713, 19 = 68, 65

4. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.

Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 6 8 , 6 5}{1 1} = 12, 48 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 6 8 , 6 5}{1 5} = 9, 15 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 6 8 , 6 5}{2 3} = 5, 97

5. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty

Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{1 5 ^{2} + 2 3 ^{2} - 1 1 ^{2}}{2 \cdot 1 5 \cdot 2 3}) = 23 ° 2 7^{'} 8 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{1 1 ^{2} + 2 3 ^{2} - 1 5 ^{2}}{2 \cdot 1 1 \cdot 2 3}) = 32 ° 5 2^{'} 6 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 23 ° 2 7^{'} 8 " - 32 ° 5 2^{'} 6 " = 123 ° 4 0^{'} 46 "

6. Poloměr vepsané kružnice

Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{6 8 , 6 5}{2 4 , 5} = 2, 8

7. Poloměr opsané kružnice

Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{1 1 \cdot 1 5 \cdot 2 3}{4 \cdot 2 , 8 0 2 \cdot 2 4 , 5} = 13, 82

8. Výpočet těžnic

Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 5 ^{2} + 2 \cdot 2 3 ^{2} - 1 1 ^{2}}{2} = 18, 621 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 2 3 ^{2} + 2 \cdot 1 1 ^{2} - 1 5 ^{2}}{2} = 16, 394 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 1 ^{2} + 2 \cdot 1 5 ^{2} - 2 3 ^{2}}{2} = 6, 384

Vypočítat další trojúhelník