Trojúhelník 11 16 23

Tupouhlý různostranný trojúhelník.

Délky stran trojúhelníku:
a = 11
b = 16
c = 23

Obsah trojúhelníku: S = 79,37325393319
Obvod trojúhelníku: o = 50
Semiperimeter (poloobvod): s = 25

Úhel ∠ A = α = 25,55546937848° = 25°33'17″ = 0,44660135459 rad
Úhel ∠ B = β = 38,86223042378° = 38°51'44″ = 0,67882751639 rad
Úhel ∠ C = γ = 115,58330019774° = 115°34'59″ = 2,01773039438 rad

Výška trojúhelníku na stranu a: v_a = 14,43113707876
Výška trojúhelníku na stranu b: v_b = 9,92215674165
Výška trojúhelníku na stranu c: v_c = 6,90219599419

Těžnice: t_a = 19,03328663107
Těžnice: t_b = 16,15554944214
Těžnice: t_c = 7,5

Poloměr vepsané kružnice: r = 3,17549015733
Poloměr opsané kružnice: R = 12,75500015562

Souřadnice vrcholů: A[23; 0] B[0; 0] C[8,56552173913; 6,90219599419]
Těžiště: T[10,52217391304; 2,3010653314]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[11,5; -5,50656824902]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[9; 3,17549015733]

Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 154,44553062152° = 154°26'43″ = 0,44660135459 rad
∠ B' = β' = 141,13876957622° = 141°8'16″ = 0,67882751639 rad
∠ C' = γ' = 64,41769980226° = 64°25'1″ = 2,01773039438 rad

Vypočítat další trojúhelník

Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?

Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen.

a = 11 b = 16 c = 23

1. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran

o = a + b + c = 11 + 16 + 23 = 50

2. Poloviční obvod trojúhelníku

Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{5 0}{2} = 25

3. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce

Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 25 (25 - 11) (25 - 16) (25 - 23) S = 6300 = 79, 37

4. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.

Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 7 9 , 3 7}{1 1} = 14, 43 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 7 9 , 3 7}{1 6} = 9, 92 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 7 9 , 3 7}{2 3} = 6, 9

5. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty

Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{1 6 ^{2} + 2 3 ^{2} - 1 1 ^{2}}{2 \cdot 1 6 \cdot 2 3}) = 25 ° 3 3^{'} 17 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{1 1 ^{2} + 2 3 ^{2} - 1 6 ^{2}}{2 \cdot 1 1 \cdot 2 3}) = 38 ° 5 1^{'} 44 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 25 ° 3 3^{'} 17 " - 38 ° 5 1^{'} 44 " = 115 ° 3 4^{'} 59 "

6. Poloměr vepsané kružnice

Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{7 9 , 3 7}{2 5} = 3, 17

7. Poloměr opsané kružnice

Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{1 1 \cdot 1 6 \cdot 2 3}{4 \cdot 3 , 1 7 5 \cdot 2 5} = 12, 75

8. Výpočet těžnic

Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 6 ^{2} + 2 \cdot 2 3 ^{2} - 1 1 ^{2}}{2} = 19, 033 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 2 3 ^{2} + 2 \cdot 1 1 ^{2} - 1 6 ^{2}}{2} = 16, 155 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 1 ^{2} + 2 \cdot 1 6 ^{2} - 2 3 ^{2}}{2} = 7, 5

Vypočítat další trojúhelník