Trojúhelník 11 19 27
Tupouhlý různostranný trojúhelník.
Délky stran trojúhelníku:a = 11
b = 19
c = 27
Obsah trojúhelníku: S = 84,30441369092
Obvod trojúhelníku: o = 57
Semiperimeter (poloobvod): s = 28,5
Úhel ∠ A = α = 19,18881364537° = 19°11'17″ = 0,33548961584 rad
Úhel ∠ B = β = 34,59903169264° = 34°35'25″ = 0,60437149197 rad
Úhel ∠ C = γ = 126,22215466198° = 126°13'18″ = 2,20329815755 rad
Výška trojúhelníku na stranu a: va = 15,32880248926
Výška trojúhelníku na stranu b: vb = 8,87441196746
Výška trojúhelníku na stranu c: vc = 6,24547508822
Těžnice: ta = 22,68881026091
Těžnice: tb = 18,29661744635
Těžnice: tc = 7,66548548584
Poloměr vepsané kružnice: r = 2,95880398915
Poloměr opsané kružnice: R = 16,73440542436
Souřadnice vrcholů: A[27; 0] B[0; 0] C[9,05655555556; 6,24547508822]
Těžiště: T[12,01985185185; 2,08215836274]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[13,5; -9,88883047803]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[9,5; 2,95880398915]
Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 160,81218635463° = 160°48'43″ = 0,33548961584 rad
∠ B' = β' = 145,41096830736° = 145°24'35″ = 0,60437149197 rad
∠ C' = γ' = 53,77884533802° = 53°46'42″ = 2,20329815755 rad
Vypočítat další trojúhelník
Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?
Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen.
a=11 b=19 c=27
1. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran
o=a+b+c=11+19+27=57
2. Poloviční obvod trojúhelníku
Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.s=2o=257=28,5
3. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce
Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.S=s(s−a)(s−b)(s−c) S=28,5(28,5−11)(28,5−19)(28,5−27) S=7107,19=84,3
4. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.
Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.S=2ava va=a2 S=112⋅ 84,3=15,33 vb=b2 S=192⋅ 84,3=8,87 vc=c2 S=272⋅ 84,3=6,24
5. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty
Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.a2=b2+c2−2bccosα α=arccos(2bcb2+c2−a2)=arccos(2⋅ 19⋅ 27192+272−112)=19°11′17" b2=a2+c2−2accosβ β=arccos(2aca2+c2−b2)=arccos(2⋅ 11⋅ 27112+272−192)=34°35′25" γ=180°−α−β=180°−19°11′17"−34°35′25"=126°13′18"
6. Poloměr vepsané kružnice
Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.S=rs r=sS=28,584,3=2,96
7. Poloměr opsané kružnice
Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.R=4 rsabc=4⋅ 2,958⋅ 28,511⋅ 19⋅ 27=16,73
8. Výpočet těžnic
Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.ta=22b2+2c2−a2=22⋅ 192+2⋅ 272−112=22,688 tb=22c2+2a2−b2=22⋅ 272+2⋅ 112−192=18,296 tc=22a2+2b2−c2=22⋅ 112+2⋅ 192−272=7,665
Vypočítat další trojúhelník