Trojúhelník 11 20 21

Ostroúhlý různostranný trojúhelník.

Délky stran trojúhelníku:
a = 11
b = 20
c = 21

Obsah trojúhelníku: S = 108,16765382639
Obvod trojúhelníku: o = 52
Semiperimeter (poloobvod): s = 26

Úhel ∠ A = α = 31,00327191339° = 31°10″ = 0,5411099526 rad
Úhel ∠ B = β = 69,47329625625° = 69°28'23″ = 1,21325319378 rad
Úhel ∠ C = γ = 79,52443183036° = 79°31'28″ = 1,38879611898 rad

Výška trojúhelníku na stranu a: v_a = 19,66766433207
Výška trojúhelníku na stranu b: v_b = 10,81766538264
Výška trojúhelníku na stranu c: v_c = 10,30215750728

Těžnice: t_a = 19,75547462651
Těžnice: t_b = 13,45436240471
Těžnice: t_c = 12,25876506721

Poloměr vepsané kružnice: r = 4,16602514717
Poloměr opsané kružnice: R = 10,67879787773

Souřadnice vrcholů: A[21; 0] B[0; 0] C[3,85771428571; 10,30215750728]
Těžiště: T[8,28657142857; 3,43438583576]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[10,5; 1,94114506868]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[6; 4,16602514717]

Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 148,99772808661° = 148°59'50″ = 0,5411099526 rad
∠ B' = β' = 110,52770374375° = 110°31'37″ = 1,21325319378 rad
∠ C' = γ' = 100,47656816964° = 100°28'32″ = 1,38879611898 rad

Vypočítat další trojúhelník

Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?

Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen.

a = 11 b = 20 c = 21

1. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran

o = a + b + c = 11 + 20 + 21 = 52

2. Poloviční obvod trojúhelníku

Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{5 2}{2} = 26

3. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce

Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 26 (26 - 11) (26 - 20) (26 - 21) S = 11700 = 108, 17

4. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.

Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 1 0 8 , 1 7}{1 1} = 19, 67 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 1 0 8 , 1 7}{2 0} = 10, 82 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 1 0 8 , 1 7}{2 1} = 10, 3

5. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty

Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{2 0 ^{2} + 2 1 ^{2} - 1 1 ^{2}}{2 \cdot 2 0 \cdot 2 1}) = 31 ° 10 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{1 1 ^{2} + 2 1 ^{2} - 2 0 ^{2}}{2 \cdot 1 1 \cdot 2 1}) = 69 ° 2 8^{'} 23 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 31 ° 10 " - 69 ° 2 8^{'} 23 " = 79 ° 3 1^{'} 28 "

6. Poloměr vepsané kružnice

Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{1 0 8 , 1 7}{2 6} = 4, 16

7. Poloměr opsané kružnice

Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{1 1 \cdot 2 0 \cdot 2 1}{4 \cdot 4 , 1 6 \cdot 2 6} = 10, 68

8. Výpočet těžnic

Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 2 0 ^{2} + 2 \cdot 2 1 ^{2} - 1 1 ^{2}}{2} = 19, 755 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 2 1 ^{2} + 2 \cdot 1 1 ^{2} - 2 0 ^{2}}{2} = 13, 454 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 1 ^{2} + 2 \cdot 2 0 ^{2} - 2 1 ^{2}}{2} = 12, 258

Vypočítat další trojúhelník