Trojúhelník 11 23 26
Tupouhlý různostranný trojúhelník.
Délky stran trojúhelníku:a = 11
b = 23
c = 26
Obsah trojúhelníku: S = 126,33328935788
Obvod trojúhelníku: o = 60
Semiperimeter (poloobvod): s = 30
Úhel ∠ A = α = 24,99436641747° = 24°59'37″ = 0,4366221732 rad
Úhel ∠ B = β = 62,06109868645° = 62°3'40″ = 1,08331685578 rad
Úhel ∠ C = γ = 92,94553489607° = 92°56'43″ = 1,62222023638 rad
Výška trojúhelníku na stranu a: va = 22,97696170143
Výška trojúhelníku na stranu b: vb = 10,98554690069
Výška trojúhelníku na stranu c: vc = 9,71879148907
Těžnice: ta = 23,92217474278
Těžnice: tb = 16,31771688721
Těžnice: tc = 12,49899959968
Poloměr vepsané kružnice: r = 4,21110964526
Poloměr opsané kružnice: R = 13,01771957074
Souřadnice vrcholů: A[26; 0] B[0; 0] C[5,15438461538; 9,71879148907]
Těžiště: T[10,38546153846; 3,23993049636]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[13; -0,66988677636]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[7; 4,21110964526]
Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 155,00663358253° = 155°23″ = 0,4366221732 rad
∠ B' = β' = 117,93990131355° = 117°56'20″ = 1,08331685578 rad
∠ C' = γ' = 87,05546510393° = 87°3'17″ = 1,62222023638 rad
Vypočítat další trojúhelník
Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?
Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen.
a=11 b=23 c=26
1. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran
o=a+b+c=11+23+26=60
2. Poloviční obvod trojúhelníku
Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.s=2o=260=30
3. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce
Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.S=s(s−a)(s−b)(s−c) S=30(30−11)(30−23)(30−26) S=15960=126,33
4. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.
Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.S=2ava va=a2 S=112⋅ 126,33=22,97 vb=b2 S=232⋅ 126,33=10,99 vc=c2 S=262⋅ 126,33=9,72
5. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty
Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.a2=b2+c2−2bccosα α=arccos(2bcb2+c2−a2)=arccos(2⋅ 23⋅ 26232+262−112)=24°59′37" b2=a2+c2−2accosβ β=arccos(2aca2+c2−b2)=arccos(2⋅ 11⋅ 26112+262−232)=62°3′40" γ=180°−α−β=180°−24°59′37"−62°3′40"=92°56′43"
6. Poloměr vepsané kružnice
Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.S=rs r=sS=30126,33=4,21
7. Poloměr opsané kružnice
Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.R=4 rsabc=4⋅ 4,211⋅ 3011⋅ 23⋅ 26=13,02
8. Výpočet těžnic
Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.ta=22b2+2c2−a2=22⋅ 232+2⋅ 262−112=23,922 tb=22c2+2a2−b2=22⋅ 262+2⋅ 112−232=16,317 tc=22a2+2b2−c2=22⋅ 112+2⋅ 232−262=12,49
Vypočítat další trojúhelník