Trojúhelník 11 30 30

Ostroúhlý rovnoramenný trojúhelník.

Délky stran trojúhelníku:
a = 11
b = 30
c = 30

Obsah trojúhelníku: S = 162,20333831336
Obvod trojúhelníku: o = 71
Semiperimeter (poloobvod): s = 35,5

Úhel ∠ A = α = 21,12879551781° = 21°7'41″ = 0,36987523821 rad
Úhel ∠ B = β = 79,43660224109° = 79°26'10″ = 1,38664201358 rad
Úhel ∠ C = γ = 79,43660224109° = 79°26'10″ = 1,38664201358 rad

Výška trojúhelníku na stranu a: v_a = 29,49215242061
Výška trojúhelníku na stranu b: v_b = 10,81435588756
Výška trojúhelníku na stranu c: v_c = 10,81435588756

Těžnice: t_a = 29,49215242061
Těžnice: t_b = 16,89767452487
Těžnice: t_c = 16,89767452487

Poloměr vepsané kružnice: r = 4,5699109384
Poloměr opsané kružnice: R = 15,25986213196

Souřadnice vrcholů: A[30; 0] B[0; 0] C[2,01766666667; 10,81435588756]
Těžiště: T[10,67222222222; 3,60545196252]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[15; 2,79774139086]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[5,5; 4,5699109384]

Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 158,87220448219° = 158°52'19″ = 0,36987523821 rad
∠ B' = β' = 100,56439775891° = 100°33'50″ = 1,38664201358 rad
∠ C' = γ' = 100,56439775891° = 100°33'50″ = 1,38664201358 rad

Vypočítat další trojúhelník

Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?

Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen.

a = 11 b = 30 c = 30

1. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran

o = a + b + c = 11 + 30 + 30 = 71

2. Poloviční obvod trojúhelníku

Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{7 1}{2} = 35, 5

3. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce

Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 35, 5 (35, 5 - 11) (35, 5 - 30) (35, 5 - 30) S = 26309, 94 = 162, 2

4. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.

Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 1 6 2 , 2}{1 1} = 29, 49 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 1 6 2 , 2}{3 0} = 10, 81 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 1 6 2 , 2}{3 0} = 10, 81

5. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty

Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{3 0 ^{2} + 3 0 ^{2} - 1 1 ^{2}}{2 \cdot 3 0 \cdot 3 0}) = 21 ° 7^{'} 41 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{1 1 ^{2} + 3 0 ^{2} - 3 0 ^{2}}{2 \cdot 1 1 \cdot 3 0}) = 79 ° 2 6^{'} 10 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 21 ° 7^{'} 41 " - 79 ° 2 6^{'} 10 " = 79 ° 2 6^{'} 10 "

6. Poloměr vepsané kružnice

Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{1 6 2 , 2}{3 5 , 5} = 4, 57

7. Poloměr opsané kružnice

Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{1 1 \cdot 3 0 \cdot 3 0}{4 \cdot 4 , 5 6 9 \cdot 3 5 , 5} = 15, 26

8. Výpočet těžnic

Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 3 0 ^{2} + 2 \cdot 3 0 ^{2} - 1 1 ^{2}}{2} = 29, 492 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 3 0 ^{2} + 2 \cdot 1 1 ^{2} - 3 0 ^{2}}{2} = 16, 897 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 1 ^{2} + 2 \cdot 3 0 ^{2} - 3 0 ^{2}}{2} = 16, 897

Vypočítat další trojúhelník