Trojúhelník 12 13 14
Ostroúhlý různostranný trojúhelník.
Délky stran trojúhelníku:a = 12
b = 13
c = 14
Obsah trojúhelníku: S = 72,30879352492
Obvod trojúhelníku: o = 39
Semiperimeter (poloobvod): s = 19,5
Úhel ∠ A = α = 52,61768015821° = 52°37' = 0,91883364295 rad
Úhel ∠ B = β = 59,40875112549° = 59°24'27″ = 1,03768566718 rad
Úhel ∠ C = γ = 67,9765687163° = 67°58'32″ = 1,18663995523 rad
Výška trojúhelníku na stranu a: va = 12,05113225415
Výška trojúhelníku na stranu b: vb = 11,12442977306
Výška trojúhelníku na stranu c: vc = 10,33297050356
Těžnice: ta = 12,10437184369
Těžnice: tb = 11,30326545555
Těžnice: tc = 10,36882206767
Poloměr vepsané kružnice: r = 3,70880992435
Poloměr opsané kružnice: R = 7,55110384596
Souřadnice vrcholů: A[14; 0] B[0; 0] C[6,10771428571; 10,33297050356]
Těžiště: T[6,70223809524; 3,44332350119]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[7; 2,83216394223]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[6,5; 3,70880992435]
Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 127,38331984179° = 127°23' = 0,91883364295 rad
∠ B' = β' = 120,59224887451° = 120°35'33″ = 1,03768566718 rad
∠ C' = γ' = 112,0244312837° = 112°1'28″ = 1,18663995523 rad
Vypočítat další trojúhelník
Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?
Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen.
a=12 b=13 c=14
1. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran
o=a+b+c=12+13+14=39
2. Poloviční obvod trojúhelníku
Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.s=2o=239=19,5
3. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce
Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.S=s(s−a)(s−b)(s−c) S=19,5(19,5−12)(19,5−13)(19,5−14) S=5228,44=72,31
4. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.
Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.S=2ava va=a2 S=122⋅ 72,31=12,05 vb=b2 S=132⋅ 72,31=11,12 vc=c2 S=142⋅ 72,31=10,33
5. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty
Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.a2=b2+c2−2bccosα α=arccos(2bcb2+c2−a2)=arccos(2⋅ 13⋅ 14132+142−122)=52°37′ b2=a2+c2−2accosβ β=arccos(2aca2+c2−b2)=arccos(2⋅ 12⋅ 14122+142−132)=59°24′27" γ=180°−α−β=180°−52°37′−59°24′27"=67°58′32"
6. Poloměr vepsané kružnice
Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.S=rs r=sS=19,572,31=3,71
7. Poloměr opsané kružnice
Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.R=4 rsabc=4⋅ 3,708⋅ 19,512⋅ 13⋅ 14=7,55
8. Výpočet těžnic
Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.ta=22b2+2c2−a2=22⋅ 132+2⋅ 142−122=12,104 tb=22c2+2a2−b2=22⋅ 142+2⋅ 122−132=11,303 tc=22a2+2b2−c2=22⋅ 122+2⋅ 132−142=10,368
Vypočítat další trojúhelník