Trojúhelník 12 13 15

Ostroúhlý různostranný trojúhelník.

Délky stran trojúhelníku:
a = 12
b = 13
c = 15

Obsah trojúhelníku: S = 74,83331477355
Obvod trojúhelníku: o = 40
Semiperimeter (poloobvod): s = 20

Úhel ∠ A = α = 50,132165845° = 50°7'54″ = 0,87549624994 rad
Úhel ∠ B = β = 56,25110114041° = 56°15'4″ = 0,98217653566 rad
Úhel ∠ C = γ = 73,61773301459° = 73°37'2″ = 1,28548647976 rad

Výška trojúhelníku na stranu a: v_a = 12,47221912892
Výška trojúhelníku na stranu b: v_b = 11,51327919593
Výška trojúhelníku na stranu c: v_c = 9,97877530314

Těžnice: t_a = 12,68985775404
Těžnice: t_b = 11,92768604419
Těžnice: t_c = 10,01224921973

Poloměr vepsané kružnice: r = 3,74216573868
Poloměr opsané kružnice: R = 7,81773913259

Souřadnice vrcholů: A[15; 0] B[0; 0] C[6,66766666667; 9,97877530314]
Těžiště: T[7,22222222222; 3,32659176771]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[7,5; 2,20549052458]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[7; 3,74216573868]

Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 129,868834155° = 129°52'6″ = 0,87549624994 rad
∠ B' = β' = 123,74989885959° = 123°44'56″ = 0,98217653566 rad
∠ C' = γ' = 106,38326698541° = 106°22'58″ = 1,28548647976 rad

Vypočítat další trojúhelník

Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?

Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen.

a = 12 b = 13 c = 15

1. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran

o = a + b + c = 12 + 13 + 15 = 40

2. Poloviční obvod trojúhelníku

Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{4 0}{2} = 20

3. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce

Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 20 (20 - 12) (20 - 13) (20 - 15) S = 5600 = 74, 83

4. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.

Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 7 4 , 8 3}{1 2} = 12, 47 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 7 4 , 8 3}{1 3} = 11, 51 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 7 4 , 8 3}{1 5} = 9, 98

5. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty

Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{1 3 ^{2} + 1 5 ^{2} - 1 2 ^{2}}{2 \cdot 1 3 \cdot 1 5}) = 50 ° 7^{'} 54 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{1 2 ^{2} + 1 5 ^{2} - 1 3 ^{2}}{2 \cdot 1 2 \cdot 1 5}) = 56 ° 1 5^{'} 4 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 50 ° 7^{'} 54 " - 56 ° 1 5^{'} 4 " = 73 ° 3 7^{'} 2 "

6. Poloměr vepsané kružnice

Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{7 4 , 8 3}{2 0} = 3, 74

7. Poloměr opsané kružnice

Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{1 2 \cdot 1 3 \cdot 1 5}{4 \cdot 3 , 7 4 2 \cdot 2 0} = 7, 82

8. Výpočet těžnic

Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 3 ^{2} + 2 \cdot 1 5 ^{2} - 1 2 ^{2}}{2} = 12, 689 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 5 ^{2} + 2 \cdot 1 2 ^{2} - 1 3 ^{2}}{2} = 11, 927 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 2 ^{2} + 2 \cdot 1 3 ^{2} - 1 5 ^{2}}{2} = 10, 012

Vypočítat další trojúhelník