Trojúhelník 12 13 21

Tupouhlý různostranný trojúhelník.

Délky stran trojúhelníku:
a = 12
b = 13
c = 21

Obsah trojúhelníku: S = 71,13436769751
Obvod trojúhelníku: o = 46
Semiperimeter (poloobvod): s = 23

Úhel ∠ A = α = 31,40878008669° = 31°24'28″ = 0,54881695359 rad
Úhel ∠ B = β = 34,37112560241° = 34°22'17″ = 0.65998915857 rad
Úhel ∠ C = γ = 114,2210943109° = 114°13'15″ = 1,9943531532 rad

Výška trojúhelníku na stranu a: v_a = 11,85656128292
Výška trojúhelníku na stranu b: v_b = 10,94436426116
Výška trojúhelníku na stranu c: v_c = 6,77546359024

Těžnice: t_a = 16,40112194669
Těžnice: t_b = 15,81992920196
Těžnice: t_c = 6,80107352544

Poloměr vepsané kružnice: r = 3,09327685641
Poloměr opsané kružnice: R = 11,51435338819

Souřadnice vrcholů: A[21; 0] B[0; 0] C[9,90547619048; 6,77546359024]
Těžiště: T[10,30215873016; 2,25882119675]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[10,5; -4,72435010798]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[10; 3,09327685641]

Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 148,59221991331° = 148°35'32″ = 0,54881695359 rad
∠ B' = β' = 145,62987439759° = 145°37'43″ = 0.65998915857 rad
∠ C' = γ' = 65,7799056891° = 65°46'45″ = 1,9943531532 rad

Vypočítat další trojúhelník

Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?

Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen.

a = 12 b = 13 c = 21

1. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran

o = a + b + c = 12 + 13 + 21 = 46

2. Poloviční obvod trojúhelníku

Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{4 6}{2} = 23

3. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce

Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 23 (23 - 12) (23 - 13) (23 - 21) S = 5060 = 71, 13

4. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.

Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 7 1 , 1 3}{1 2} = 11, 86 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 7 1 , 1 3}{1 3} = 10, 94 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 7 1 , 1 3}{2 1} = 6, 77

5. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty

Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{1 3 ^{2} + 2 1 ^{2} - 1 2 ^{2}}{2 \cdot 1 3 \cdot 2 1}) = 31 ° 2 4^{'} 28 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{1 2 ^{2} + 2 1 ^{2} - 1 3 ^{2}}{2 \cdot 1 2 \cdot 2 1}) = 34 ° 2 2^{'} 17 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 31 ° 2 4^{'} 28 " - 34 ° 2 2^{'} 17 " = 114 ° 1 3^{'} 15 "

6. Poloměr vepsané kružnice

Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{7 1 , 1 3}{2 3} = 3, 09

7. Poloměr opsané kružnice

Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{1 2 \cdot 1 3 \cdot 2 1}{4 \cdot 3 , 0 9 3 \cdot 2 3} = 11, 51

8. Výpočet těžnic

Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 3 ^{2} + 2 \cdot 2 1 ^{2} - 1 2 ^{2}}{2} = 16, 401 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 2 1 ^{2} + 2 \cdot 1 2 ^{2} - 1 3 ^{2}}{2} = 15, 819 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 2 ^{2} + 2 \cdot 1 3 ^{2} - 2 1 ^{2}}{2} = 6, 801

Vypočítat další trojúhelník