Trojúhelník 12 13 24

Tupouhlý různostranný trojúhelník.

Délky stran trojúhelníku:
a = 12
b = 13
c = 24

Obsah trojúhelníku: S = 41,9643525829
Obvod trojúhelníku: o = 49
Semiperimeter (poloobvod): s = 24,5

Úhel ∠ A = α = 15,60545888784° = 15°36'17″ = 0,27223514543 rad
Úhel ∠ B = β = 16,94325916094° = 16°56'33″ = 0,29657040074 rad
Úhel ∠ C = γ = 147,45328195121° = 147°27'10″ = 2,57435371918 rad

Výška trojúhelníku na stranu a: v_a = 6,99439209715
Výška trojúhelníku na stranu b: v_b = 6,45659270506
Výška trojúhelníku na stranu c: v_c = 3,49769604857

Těžnice: t_a = 18,34439363278
Těžnice: t_b = 17,826554347
Těžnice: t_c = 3,53655339059

Poloměr vepsané kružnice: r = 1,71327969726
Poloměr opsané kružnice: R = 22,30550847494

Souřadnice vrcholů: A[24; 0] B[0; 0] C[11,47991666667; 3,49769604857]
Těžiště: T[11,82663888889; 1,16656534952]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[12; -18,80220425933]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[11,5; 1,71327969726]

Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 164,39554111216° = 164°23'43″ = 0,27223514543 rad
∠ B' = β' = 163,05774083906° = 163°3'27″ = 0,29657040074 rad
∠ C' = γ' = 32,54771804879° = 32°32'50″ = 2,57435371918 rad

Vypočítat další trojúhelník

Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?

Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen.

a = 12 b = 13 c = 24

1. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran

o = a + b + c = 12 + 13 + 24 = 49

2. Poloviční obvod trojúhelníku

Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{4 9}{2} = 24, 5

3. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce

Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 24, 5 (24, 5 - 12) (24, 5 - 13) (24, 5 - 24) S = 1760, 94 = 41, 96

4. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.

Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 4 1 , 9 6}{1 2} = 6, 99 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 4 1 , 9 6}{1 3} = 6, 46 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 4 1 , 9 6}{2 4} = 3, 5

5. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty

Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{1 3 ^{2} + 2 4 ^{2} - 1 2 ^{2}}{2 \cdot 1 3 \cdot 2 4}) = 15 ° 3 6^{'} 17 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{1 2 ^{2} + 2 4 ^{2} - 1 3 ^{2}}{2 \cdot 1 2 \cdot 2 4}) = 16 ° 5 6^{'} 33 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 15 ° 3 6^{'} 17 " - 16 ° 5 6^{'} 33 " = 147 ° 2 7^{'} 10 "

6. Poloměr vepsané kružnice

Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{4 1 , 9 6}{2 4 , 5} = 1, 71

7. Poloměr opsané kružnice

Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{1 2 \cdot 1 3 \cdot 2 4}{4 \cdot 1 , 7 1 3 \cdot 2 4 , 5} = 22, 31

8. Výpočet těžnic

Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 3 ^{2} + 2 \cdot 2 4 ^{2} - 1 2 ^{2}}{2} = 18, 344 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 2 4 ^{2} + 2 \cdot 1 2 ^{2} - 1 3 ^{2}}{2} = 17, 826 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 2 ^{2} + 2 \cdot 1 3 ^{2} - 2 4 ^{2}}{2} = 3, 536

Vypočítat další trojúhelník